Warum man Wurzeln braucht
Beim Quadrieren rechnet man von der Seite eines Quadrats zu seinem Flächeninhalt. Oft ist es genau umgekehrt: Die Fläche ist bekannt, die Seite ist gesucht.
- Quadrieren:Seite \(a=7\,\mathrm{m}\) → Fläche \(A=7\cdot7=7^2=49\,\mathrm{m^2}\).
- Umgekehrt:Fläche \(A=49\,\mathrm{m^2}\) → gesucht ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert \(49\) ergibt.
- Antwort:\(a=7\,\mathrm{m}\), denn \(7\cdot7=49\).
Ziehe die Ecke des Quadrats oder wähle oben einen Flächeninhalt: Zu jeder Fläche gehört genau eine Seitenlänge.
Halte fest: Die Seitenlänge ist die Zahl, die quadriert den Flächeninhalt ergibt — die Quadratwurzel des Flächeninhalts.
Die Quadratwurzel
Für die gesuchte Zahl gibt es ein eigenes Zeichen, das Wurzelzeichen \(\sqrt{\phantom{x}}\).
- Schreibweise:\(\sqrt{49}=7\), gelesen „Wurzel aus 49“.
- Radikand:die Zahl unter dem Wurzelzeichen, hier \(49\).
- Probe:Quadrieren ergibt wieder den Radikanden: \(7^2=49\).
- Beispiele:\(\sqrt{1}=1\), \(\sqrt{100}=10\), \(\sqrt{0}=0\), \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\).
- Radikand ≥ 0:Kein Quadrat ist negativ — deshalb gibt es \(\sqrt{-4}\) nicht.
Quadratwurzel: \(\sqrt{a}=b\), wenn \(b^2=a\) und \(b\ge 0\) \((a\ge 0)\)
Allgemeine Hinweise
√49 ist nicht −7
Zwar ist auch \((-7)^2=49\). Die Wurzel ist aber immer die nicht negative Zahl: \(\sqrt{49}=7\).
Keine Wurzel aus Minus
\(\sqrt{-9}\) gibt es nicht, denn jede Zahl ergibt quadriert \(0\) oder etwas Positives.
Einheit mitnehmen
Aus einer Fläche in cm² wird eine Länge in cm: \(\sqrt{49\,\mathrm{cm^2}}=7\,\mathrm{cm}\).