Irrationale Zahlen: Textaufgaben – Mathe Klasse 9

Das quadratische Tuch

AFB I–II

Ein quadratisches Tuch hat eine Fläche von 2 m². Nele möchte die Seitenlänge ohne Taschenrechner möglichst genau angeben.

Bestimme die Seitenlänge auf zwei Nachkommastellen durch Intervallschachtelung.
Begründe, warum Nele die Seitenlänge nie exakt als Dezimalzahl angeben kann.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)

Quadriere 1,4 und 1,5, dann 1,41 und 1,42.

Hinweis zu Aufgabe b)

Welche Art Zahl ist √2?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

1,4² = 1,96 < 2 < 2,25 = 1,5²; 1,41² = 1,9881 < 2 < 2,0164 = 1,42². Also 1,41 m < a < 1,42 m, a ≈ 1,41 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

a = √2 m, und √2 ist irrational: unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode. Jede Dezimalzahl, die man aufschreibt, ist nur eine Näherung.

Streit um 0,999…

AFB II–III

In der Klasse wird diskutiert: Kai sagt, „0,999… (Periode 9) ist irrational, weil es nie aufhört.“ Ida sagt, „√1,69 ist irrational, weil unter der Wurzel eine Kommazahl steht.“

Widerlege Idas Aussage.
Beurteile Kais Begründung.
Entwickle ein eigenes Beispiel für eine irrationale Zahl, die keine Wurzel ist, und erkläre, warum sie irrational ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)

Probiere, ob √1,69 aufgeht.

Hinweis zu Aufgabe b)

Was unterscheidet periodische von irrationalen Zahlen?

Hinweis zu Aufgabe c)

Baue eine Ziffernfolge, die sich nie wiederholt.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

1,3² = 1,69, also √1,69 = 1,3 = 13/10 — rational. Eine Kommazahl unter der Wurzel macht die Wurzel nicht irrational.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Begründung ist falsch: „nie aufhören“ reicht nicht. 0,999… ist periodisch und damit rational (sie ist sogar gleich 1). Irrational sind nur Zahlen ohne Ende und ohne Periode.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zum Beispiel 0,123456789101112… (alle natürlichen Zahlen hintereinander): Sie endet nie, und es gibt keinen festen Block, der sich wiederholt — also irrational.