Irrationale Zahlen

\(2\) ist keine Quadratzahl. Also sucht man \(\sqrt{2}\) zwischen immer engeren Grenzen.

• Einer:\(1^2=1<2<4=2^2\;\Rightarrow\;1<\sqrt{2}<2\).
• Zehntel:\(1{,}4^2=1{,}96<2<2{,}25=1{,}5^2\;\Rightarrow\;1{,}4<\sqrt{2}<1{,}5\).
• Hundertstel:\(1{,}41^2=1{,}9881<2<2{,}0164=1{,}42^2\;\Rightarrow\;1{,}41<\sqrt{2}<1{,}42\).
• Ohne Ende:\(\sqrt{2}=1{,}41421356\ldots\) — es kommt nie eine letzte Stelle und nie eine Periode.

Klicke das Teilstück an, in dem die Wurzel liegt. Das Quadrat der Grenzen verrät, ob du richtig liegst — dann wird hineingezoomt.

Halte fest: Jeder Schritt liefert eine neue Nachkommastelle — bei \(\sqrt{2}\) hört das nie auf.

Zahlen wie \(\sqrt{2}\) passen in keinen der bisherigen Zahlbereiche — sie heißen irrational.

• Rational:als Bruch darstellbar; die Dezimalzahl bricht ab oder ist periodisch: \(\tfrac34=0{,}75\), \(\tfrac13=0{,}\overline{3}\).
• Irrational:unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode: \(\sqrt{2}=1{,}41421356\ldots\)
• Beispiele:\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) und \(\pi\) sind irrational; \(\sqrt{9}=3\) und \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\) sind rational.
• Regel:Die Wurzel einer natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist irrational.