Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Aussagen beurteilen, Fehler finden, allgemein zeigen. Formuliere deine Antwort in ganzen Sätzen, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründen Sie, dass die Gleichung \(x^2+5=0\) keine Lösung hat — algebraisch und am Graphen.
Hinweis: Überlegen Sie, welche Werte \(x^2\) annehmen kann.
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Musterlösung: Aus \(x^2+5=0\) folgt \(x^2=-5\). Ein Quadrat ist aber nie negativ, also gibt es keine Lösung. Am Graphen: \(y=x^2+5\) ist die um 5 nach oben verschobene Normalparabel mit Scheitel \(S(0\,|\,5)\); sie ist nach oben geöffnet und erreicht die \(x\)-Achse nie.
Beurteilen Sie die Aussage: „Ist in \(f(x)=a\,(x-d)^2+e\) der Faktor \(a<0\) und \(e>0\), hat die Parabel immer genau zwei Nullstellen.“
Hinweis: Skizzieren Sie Lage des Scheitels und Öffnung.
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Musterlösung: Die Aussage stimmt. Bei \(e>0\) liegt \(S\) über der \(x\)-Achse, bei \(a<0\) ist die Parabel nach unten geöffnet — links und rechts von \(S\) fällt sie unter die \(x\)-Achse und schneidet sie genau zweimal. Algebraisch: \((x-d)^2=-\tfrac ea\) ist positiv, also gibt es die zwei Lösungen \(x=d\pm\sqrt{-\tfrac ea}\).
Ermitteln Sie alle Werte von \(c\), für die \(x^2+6x+c=0\) genau eine Lösung hat, und begründen Sie am Graphen.
Hinweis: Die Diskriminante entscheidet über die Anzahl.
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Musterlösung: Mit \(p=6\), \(q=c\) ist \(D=9-c\). Genau eine Lösung gibt es nur für \(D=0\), also \(c=9\). Dann ist \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) und die Lösung \(x=-3\). Am Graphen: Der Scheitel \(S(-3\,|\,0)\) liegt auf der \(x\)-Achse. Für \(c<9\) gibt es zwei, für \(c>9\) keine Lösung.
Mia löst \(2x^2=8x\) so: „Ich teile durch \(2x\) und erhalte \(x=4\).“ Beurteilen Sie ihr Vorgehen und geben Sie die vollständige Lösung an.
Hinweis: Was passiert beim Teilen, wenn \(x=0\) ist?
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Musterlösung: Mias Ergebnis ist unvollständig. Durch \(2x\) darf sie nur teilen, wenn \(x\ne0\) ist — genau dadurch geht die Lösung \(x=0\) verloren. Richtig: \(2x^2-8x=0\), ausklammern \(2x\,(x-4)=0\), nach dem Satz vom Nullprodukt \(x=0\) oder \(x=4\).
Entwickeln Sie eine quadratische Gleichung mit den Lösungen \(-2\) und \(5\). Begründen Sie, warum es unendlich viele solche Gleichungen gibt.
Hinweis: Satz von Vieta oder faktorisierte Form.
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Musterlösung: \((x+2)(x-5)=0\) ergibt ausmultipliziert \(x^2-3x-10=0\); Vieta bestätigt: \(-2+5=3=-p\), \((-2)\cdot5=-10=q\). Multipliziert man die Gleichung mit einer Zahl \(a\ne0\), z. B. \(2x^2-6x-20=0\), ändern sich die Lösungen nicht. Deshalb gibt es unendlich viele Gleichungen — aber nur eine in Normalform.
Die Punkte \(P(-1\,|\,7)\) und \(Q(5\,|\,7)\) liegen auf derselben Parabel. Begründen Sie, dass ihr Scheitelpunkt die \(x\)-Koordinate \(2\) hat, ohne die Gleichung zu kennen.
Hinweis: Wo liegen Punkte mit gleichem Funktionswert?
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Musterlösung: Jede Parabel ist achsensymmetrisch zu ihrer Symmetrieachse \(x=d\). Zwei verschiedene Punkte mit gleichem \(y\)-Wert liegen deshalb spiegelbildlich zu dieser Achse, also gleich weit links und rechts davon. Die Achse liegt in der Mitte: \(d=\tfrac{-1+5}{2}=2\). Der Scheitel hat also \(x_S=2\) — seine \(y\)-Koordinate lässt sich so nicht bestimmen.
Eine Parabel ist die Ortslinie aller Punkte mit gleichem Abstand zum Brennpunkt \(F\) und zur Leitgeraden \(l\). Begründen Sie, dass ihr Scheitel genau in der Mitte zwischen \(F\) und \(l\) liegt.
Hinweis: Betrachten Sie den Punkt der Ortslinie auf dem Lot von \(F\) auf \(l\).
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Musterlösung: Der Scheitel liegt auf der Symmetrieachse, also auf dem Lot von \(F\) auf \(l\) mit Fußpunkt \(L\). Für ihn gilt wie für jeden Punkt der Ortslinie \(\overline{SF}=\overline{SL}\). Da \(F\), \(S\) und \(L\) auf einer Geraden liegen, ist \(S\) der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{FL}\). Beispiel: \(F(0|1)\), \(l\colon y=-1\) ergibt \(S(0|0)\).
Für einen Ballwurf liefert die Regression \(y\approx-0{,}096x^2+1{,}111x+1{,}805\) (Messwerte für \(0\le x\le12\), in m). Für \(x=20\) ergibt sich \(y\approx-14\). Nehmen Sie Stellung zu diesem Wert.
Hinweis: Wo endet der Flug in der Realität?
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Musterlösung: Der Wert ist sinnlos: Eine negative Höhe gibt es nicht, der Ball liegt spätestens bei der positiven Nullstelle \(x\approx13\,\mathrm m\) am Boden. Das Modell beschreibt nur den Flug, also etwa \(0\le x\le13\); gemessen wurde sogar nur bis \(12\,\mathrm m\). Außerhalb dieses Bereichs darf man es nicht verwenden.
Zeigen Sie, dass der Scheitelpunkt von \(f(x)=ax^2+bx+c\) die \(x\)-Koordinate \(x_S=-\tfrac{b}{2a}\) hat.
Hinweis: Quadratische Ergänzung mit Buchstaben statt Zahlen.
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Musterlösung: \(f(x)=a\,\big(x^2+\tfrac bax\big)+c=a\,\Big(\big(x+\tfrac b{2a}\big)^2-\tfrac{b^2}{4a^2}\Big)+c=a\,\big(x+\tfrac b{2a}\big)^2+c-\tfrac{b^2}{4a}\). Das ist die Scheitelpunktform mit \(d=-\tfrac b{2a}\). Probe: \(2x^2+12x+13\) hat \(x_S=-\tfrac{12}{4}=-3\) ✓.
Mit \(U\) Metern Zaun soll ein Rechteck eingezäunt werden. Begründen Sie allgemein, dass ohne Hauswand ein Quadrat die größte Fläche liefert.
Hinweis: Stellen Sie \(A(x)\) mit dem Buchstaben \(U\) auf.
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Musterlösung: Zwei benachbarte Seiten ergeben zusammen \(\tfrac U2\), also \(A(x)=x\,\big(\tfrac U2-x\big)\). Die nach unten geöffnete Parabel hat die Nullstellen \(0\) und \(\tfrac U2\); ihr Scheitel liegt in der Mitte bei \(x=\tfrac U4\). Dann ist auch die andere Seite \(\tfrac U2-\tfrac U4=\tfrac U4\) — das Rechteck ist ein Quadrat. Mit Hauswand (3.3.2) sind die Seiten dagegen \(5\,\mathrm m\) und \(10\,\mathrm m\).