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Übung AFB II

Umformen, Gleichungen lösen, Sachaufgaben: zehn mehrschrittige Aufgaben mit gestuften Tipps.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Aufgaben aus allen Unterkapiteln: erst die passende Form wählen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Scheitelpunkt durch Ergänzen
AFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^2-8x+10\).

Bestimmen Sie mit quadratischer Ergänzung den Scheitelpunkt.

Ansatz: Die halbe Zahl vor \(x\) ist \(-4\); ergänze \((-4)^2=16\).
Rechenweg: \(x^2-8x+16-16+10=(x-4)^2-6\).
Lösung: \(S(4\,|\,-6)\)
Vollständige Lösung
\(f(x)=x^2-8x+16-16+10=(x-4)^2-6\). Also \(S(4\,|\,-6)\). Hinweis: Die Ergänzung wird addiert und subtrahiert, sonst ändert sich die Funktion.
A2
Ergänzen mit Streckfaktor
AFB II

Gegeben ist \(f(x)=2x^2+12x+13\).

Bestimmen Sie den Scheitelpunkt.

Ansatz: Erst \(2\) aus \(2x^2+12x\) ausklammern: \(2\,(x^2+6x)+13\).
Rechenweg: \(2\,\big((x+3)^2-9\big)+13=2\,(x+3)^2-18+13\).
Lösung: \(S(-3\,|\,-5)\)
Vollständige Lösung
\(f(x)=2\,(x^2+6x)+13=2\,\big((x+3)^2-9\big)+13=2\,(x+3)^2-5\). Scheitelpunkt \(S(-3\,|\,-5)\). Hinweis: Die \(-9\) steht in der Klammer und wird mit \(2\) multipliziert.
A3
Punktprobe
AFB II

Gegeben ist \(f(x)=\tfrac12\,(x-1)^2+2\) und der Punkt \(P(3\,|\,4)\).

Berechnen Sie \(f(3)\) und entscheiden Sie, ob \(P\) auf dem Graphen liegt.

Ansatz: \(x=3\) einsetzen und mit der \(y\)-Koordinate von \(P\) vergleichen.
Rechenweg: \(f(3)=\tfrac12\cdot2^2+2=2+2\).
Lösung: \(f(3)=4\) — \(P\) liegt auf dem Graphen.
Vollständige Lösung
\(f(3)=\tfrac12\,(3-1)^2+2=\tfrac12\cdot4+2=4\). Das ist genau die \(y\)-Koordinate von \(P\), also liegt \(P\) auf der Parabel.
A4
Gleichung aus Scheitel und Punkt
AFB II

Eine Parabel hat den Scheitelpunkt \(S(2\,|\,-3)\) und verläuft durch \(P(4\,|\,5)\).

Bestimmen Sie den Streckfaktor \(a\) der Scheitelpunktform.

Ansatz: Ansatz \(f(x)=a\,(x-2)^2-3\), dann \(P\) einsetzen.
Rechenweg: \(5=a\,(4-2)^2-3\) → \(8=4a\).
Lösung: \(a=2\), also \(f(x)=2\,(x-2)^2-3\)
Vollständige Lösung
\(5=a\cdot4-3\) → \(4a=8\) → \(a=2\). Die Gleichung lautet \(f(x)=2\,(x-2)^2-3\). Probe mit dem Schrittmuster: 2 nach rechts → \(4a=8\) nach oben, von \(-3\) auf \(5\) ✓.
A5
Erst die Normalform
AFB II

Gegeben ist die Gleichung \(2x^2-8x-10=0\).

Lösen Sie sie. Tragen Sie die kleinere Lösung zuerst ein.

Ansatz: Durch \(2\) teilen: \(x^2-4x-5=0\), dann pq-Formel.
Rechenweg: \(p=-4\), \(q=-5\): \(x_{1,2}=2\pm\sqrt{4+5}=2\pm3\).
Lösung: \(x_1=-1\), \(x_2=5\)
Vollständige Lösung
\(x^2-4x-5=0\), \(x_{1,2}=2\pm\sqrt{9}=2\pm3\), also \(x_1=-1\) und \(x_2=5\). Probe mit Vieta: \(-1+5=4=-p\), \((-1)\cdot5=-5=q\) ✓.
A6
Parabel trifft Gerade
AFB II

Die Normalparabel \(y=x^2\) und die Gerade \(y=2x+3\) schneiden sich.

Berechnen Sie die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte (kleinere zuerst).

Ansatz: Gleichsetzen: \(x^2=2x+3\), alles auf eine Seite.
Rechenweg: \(x^2-2x-3=0\): \(x_{1,2}=1\pm\sqrt{1+3}=1\pm2\).
Lösung: \(x_1=-1\), \(x_2=3\)
Vollständige Lösung
\(x^2-2x-3=0\) → \(x_{1,2}=1\pm2\). Schnittpunkte \((-1\,|\,1)\) und \((3\,|\,9)\). Die \(y\)-Werte liefert Einsetzen in \(y=x^2\).
A7
Von faktorisiert zu allgemein
AFB II

Gegeben ist \(f(x)=(x-2)(x+5)\).

Geben Sie \(b\) und \(c\) der allgemeinen Form \(x^2+bx+c\) an.

Ansatz: Ausmultiplizieren oder Vieta: \(b=-(x_1+x_2)\), \(c=x_1\cdot x_2\).
Rechenweg: Nullstellen \(2\) und \(-5\): \(b=-(2-5)=3\), \(c=2\cdot(-5)\).
Lösung: \(f(x)=x^2+3x-10\)
Vollständige Lösung
\((x-2)(x+5)=x^2+5x-2x-10=x^2+3x-10\). Also \(b=3\) und \(c=-10\).
A8
Nullstellen aus der Scheitelpunktform
AFB II

Gegeben ist \(f(x)=\tfrac12\,(x-2)^2-8\).

Berechnen Sie die Nullstellen ohne pq-Formel (kleinere zuerst).

Ansatz: \(f(x)=0\) setzen und nach der Klammer umstellen.
Rechenweg: \(\tfrac12\,(x-2)^2=8\) → \((x-2)^2=16\) → \(x-2=\pm4\).
Lösung: \(x_1=-2\), \(x_2=6\)
Vollständige Lösung
\((x-2)^2=16\), also \(x-2=4\) oder \(x-2=-4\). Damit \(x_1=-2\), \(x_2=6\) — symmetrisch zu \(x_S=2\).
A9
Höchster Punkt eines Wurfs
AFB II

Die Flugbahn eines Balls wird durch \(h(x)=-0{,}05x^2+x+1{,}5\) beschrieben (\(x\) waagerechte Weite, \(h\) Höhe, beides in m).

Bestimmen Sie, in welcher Weite der Ball am höchsten ist und wie hoch.

Ansatz: Scheitelpunktform bilden: \(-0{,}05\) aus den ersten beiden Gliedern ausklammern.
Rechenweg: \(-0{,}05\,(x^2-20x)+1{,}5=-0{,}05\,\big((x-10)^2-100\big)+1{,}5\).
Lösung: \(S(10\,|\,6{,}5)\): nach 10 m ist er 6,5 m hoch.
Vollständige Lösung
\(h(x)=-0{,}05\,(x-10)^2+5+1{,}5=-0{,}05\,(x-10)^2+6{,}5\). Der Ball erreicht nach \(10\,\mathrm m\) seine größte Höhe von \(6{,}5\,\mathrm m\). Kontrolle mit dem GTR: G-Solv → MAX.
A10
Größtes Rechteck
AFB II

Ein rechteckiges Beet soll mit \(36\,\mathrm m\) Einfassung umrandet werden (alle vier Seiten).

Bestimmen Sie die Seitenlänge \(x\) für den größten Flächeninhalt und diesen Inhalt.

Ansatz: Zwei Seiten zusammen sind \(18\,\mathrm m\): Seiten \(x\) und \(18-x\), also \(A(x)=x\,(18-x)\).
Rechenweg: Nullstellen \(0\) und \(18\), der Scheitel liegt in der Mitte bei \(x=9\).
Lösung: \(x=9\,\mathrm m\), \(A=81\,\mathrm{m^2}\)
Vollständige Lösung
\(A(x)=-x^2+18x=-(x-9)^2+81\). Größte Fläche bei \(x=9\,\mathrm m\): ein Quadrat mit \(81\,\mathrm{m^2}\).