Strecken, spiegeln, verschieben
Jede Parabel entsteht aus der Normalparabel. Die Scheitelpunktform \(f(x)=a\,(x-d)^2+e\) verrät, wie.
- Faktor \(a\):\(|a|>1\) enger (gestreckt), \(0<|a|<1\) weiter (gestaucht).
- Vorzeichen von \(a\):\(a<0\) spiegelt an der \(x\)-Achse — Öffnung nach unten.
- Parameter \(d\):verschiebt um \(d\) nach rechts (\(d<0\): nach links).
- Parameter \(e\):verschiebt um \(e\) nach oben (\(e<0\): nach unten).
Verändere immer nur einen Regler und vergleiche mit der grauen Normalparabel. Achte darauf, wohin der Scheitelpunkt \(S\) wandert.
Halte fest: \(a\) bestimmt Form und Öffnung, \(d\) und \(e\) verschieben — der Scheitelpunkt landet bei \(S(d\,|\,e)\).
Den Scheitelpunkt ablesen
In der Scheitelpunktform stehen die Koordinaten von \(S\) direkt in der Gleichung.
- Scheitelpunkt:\(S(d\,|\,e)\) — \(d\) mit umgekehrtem Vorzeichen aus der Klammer lesen.
- Symmetrieachse:die senkrechte Gerade \(x=d\) durch \(S\).
- Beispiel:\(f(x)=-2\,(x+3)^2+1\): \(d=-3\), \(e=1\), also \(S(-3\,|\,1)\).
- Im Beispiel:\(a=-2\) — nach unten geöffnet und enger, \(S\) ist der höchste Punkt.
Scheitelpunktform: \(f(x)=a\,(x-d)^2+e\) mit Scheitelpunkt \(S(d\,|\,e)\) und \(a\ne0\)
Allgemeine Hinweise
Plus in der Klammer heißt links
\((x+3)^2=(x-(-3))^2\), also \(d=-3\): Die Parabel wandert nach links, nicht nach rechts.
a = 0 ist keine Parabel
Für \(a=0\) bleibt nur \(f(x)=e\) übrig — eine waagerechte Gerade.
Kleinster oder größter Wert
Bei \(a>0\) ist \(e\) der kleinste Funktionswert, bei \(a<0\) der größte. Das braucht man später beim Optimieren.