Modellieren und Optimieren: Übungen – Mathe Klasse 9

A1

Die passende Zielfunktion

AFB I

Ein Rechteck hat den Umfang 40 cm und die Breite x. Welche Aussagen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Zwei Seiten zusammen sind der halbe Umfang: x + Länge = 20. Das Maximum liegt bei x = 10 mit 100 cm².

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Aussagen zum Optimieren mit Parabeln.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

x-Wert des Scheitels = „wo“, y-Wert = „wie viel“ — beide gehören in die Antwort.

A3

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Beim Optimieren legt man zuerst eine fest. Aus der drückt man die übrigen Größen durch x aus. So entsteht die . Ihren größten Wert liefert der . Zum Schluss formuliert man einen .

Die Diskriminante zählt Nullstellen — beim Optimieren sucht man aber den Scheitel.

A4

Maximum oder Minimum?

AFB I

Hat die Zielfunktion einen größten oder einen kleinsten Wert — oder ist sie gar keine Parabel?

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1größter Wert

2kleinster Wert

3keine Parabel

Klammer ausmultipliziert: x(30 − x) = −x² + 30x hat a = −1, also ein Maximum.

A5

Größter Flächeninhalt

AFB I

Mit 24 m Zaun wird ein Rechteck an einer Mauer eingezäunt (drei Seiten). Wie groß ist die größte mögliche Fläche?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

A(x) = x(24 − 2x), Nullstellen 0 und 12, Scheitel bei x = 6: A = 6 · 12 = 72 m².

A6

Modellierungskreislauf

AFB II

Bringe die Schritte einer Optimierungsaufgabe in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Gesuchte Größe als Variable x festlegen

2Nebenbedingung als Gleichung aufschreiben

3Zielfunktion in Abhängigkeit von x aufstellen

4Scheitelpunkt bestimmen

5Ergebnis prüfen und Antwortsatz formulieren

Ohne Nebenbedingung hängt die Zielfunktion von zwei Variablen ab — dann lässt sich kein Scheitel bestimmen.

A7

Rechenkette

AFB II

Ein Kiosk verkauft 200 Eis am Tag zu 1 €. Jede Preiserhöhung um 10 ct kostet 10 Verkäufe. Bei x Erhöhungen: E(x) = (1 + 0,1x)(200 − 10x) in €.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Einnahmen ohne Erhöhung €
Nullstellen: kleinere
Nullstellen: größere
beste Zahl von Erhöhungen

Mitte der Nullstellen: x = 5, also 1,50 € Preis und E(5) = 1,5 · 150 = 225 € — mehr als vorher.

A8

Situation und Zielfunktion

AFB II

Verbinde jede Situation mit ihrer Zielfunktion.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Umfang heißt: halber Umfang für zwei Seiten; mit Wand trägt die Länge den ganzen Rest.

A9

Fehlersuche im Schulheft

AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

x-Wert und Maximalwert werden am häufigsten verwechselt.

A10

Wie groß wird die Fläche?

AFB III

Ein Rechteck hat den Umfang 20 m. Nur die Breite x ändert sich. Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 10 m², 2 = 10 bis 17 m², 3 = 17 bis 22 m², 4 = 22 bis 24 m², 5 = 24 bis 25 m². Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = unter 10 m²5 = 24 bis 25 m²

x = 5 m

x = 1 m

x = 3 m

x = 3,5 m

x = 2 m

A(x) = x(10 − x): 25 · 9 · 21 · 24 · 16 — nahe am Quadrat ändert sich die Fläche kaum.

Modellieren und Optimieren

Übungsaufgaben