Der Rahmen
AFB I–IIAus einer \(60\,\mathrm{cm}\) langen Holzleiste soll ein rechteckiger Bilderrahmen mit möglichst großer Innenfläche gebaut werden (Breite der Leiste vernachlässigt).
- Stellen Sie die Zielfunktion \(A(x)\) für die Breite \(x\) auf.
- Bestimmen Sie die Maße mit der größten Fläche.
- Nennen Sie den sinnvollen Bereich für \(x\).
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Länge \(30-x\), also \(A(x)=x\,(30-x)=-x^2+30x\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Scheitel bei \(x=15\): Quadrat mit \(15\,\mathrm{cm}\) Seitenlänge, \(A=225\,\mathrm{cm^2}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(0<x<30\).
Der Pausenstand
AFB II–IIIDie SV verkauft in der Pause Waffeln. Zum Preis von \(1{,}00\,€\) gehen \(120\) Stück weg. Eine Umfrage ergibt: Jede Preiserhöhung um \(0{,}10\,€\) kostet \(8\) Verkäufe. Die Zutaten kosten \(0{,}40\,€\) pro Waffel.
- Entwickeln Sie eine Funktion für den Gewinn \(G(x)\) bei \(x\) Preiserhöhungen.
- Ermitteln Sie den Preis mit dem größten Gewinn.
- Beurteilen Sie, ob die SV den gewinnoptimalen Preis wählen sollte.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(G(x)=(0{,}60+0{,}1x)(120-8x)\) in €.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Nullstellen \(x=-6\) und \(x=15\); Mitte \(x=4{,}5\). Ganzzahlig \(x=4\) oder \(5\): \(G(4)=1\cdot88=88\,€\), \(G(5)=1{,}1\cdot80=88\,€\). Preis \(1{,}40\,€\) oder \(1{,}50\,€\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Gewinn steigt von \(72\,€\) auf \(88\,€\), aber \(32\) bis \(40\) Schüler weniger bekommen eine Waffel. Das Modell beruht auf einer Umfrage und ist unsicher. Ein Kompromiss wie \(1{,}20\,€\) (\(G=83{,}20\,€\)) kann sinnvoll sein.