Die pq-Formel
Sind alle Glieder vorhanden, hilft kein Sonderfall (3.2.2). Die quadratische Ergänzung (3.2.1) löst dann jede Gleichung in Normalform \(x^2+px+q=0\).
- Normalform:vor \(x^2\) steht \(1\) — sonst erst durch \(a\) teilen.
Herleitung:
- Beispiel:\(x^2-2x-8=0\): \(p=-2\), \(q=-8\) → \(x_{1,2}=1\pm\sqrt{1+8}=1\pm3\), also \(x_1=4\), \(x_2=-2\).
pq-Formel: \(x^2+px+q=0 \;\Rightarrow\; x_{1,2}=-\tfrac p2\pm\sqrt{\left(\tfrac p2\right)^2-q}\)
Die Diskriminante
Der Term unter der Wurzel entscheidet, wie viele Lösungen es gibt. Er heißt Diskriminante \(D=\left(\tfrac p2\right)^2-q\).
- \(D>0\):zwei Lösungen — die Parabel \(y=x^2+px+q\) schneidet die \(x\)-Achse zweimal.
- \(D=0\):eine Lösung \(x=-\tfrac p2\) — der Scheitel liegt auf der \(x\)-Achse.
- \(D<0\):keine Lösung — die Parabel liegt ganz über der \(x\)-Achse.
Erst tippen, dann prüfen: Wie viele Lösungen hat die Gleichung? Rechne im Kopf nur \(D\) aus — der Graph zeigt dir danach, ob du richtig lagst.
Halte fest: Das Vorzeichen von \(D\) sagt die Anzahl der Nullstellen voraus — noch bevor man die Wurzel zieht.
Allgemeine Hinweise
Erst die Normalform
\(2x^2-4x-6=0\) zuerst durch \(2\) teilen: \(x^2-2x-3=0\). Sonst stimmen \(p\) und \(q\) nicht.
Vorzeichen mitnehmen
Bei \(x^2-2x-8=0\) ist \(p=-2\) und \(q=-8\). Dann ist \(-\tfrac p2=+1\) und \(-q=+8\).
Probe mit Vieta
Die Lösungen addiert ergeben \(-p\), multipliziert \(q\): \(4+(-2)=2\), \(4\cdot(-2)=-8\). Mehr dazu in 3.2.4.