MINT lernen

Parabeln als Ortslinien

Zwei Sachaufgaben zur Parabel als Ortslinie.

1

Die Satellitenschüssel

AFB I–II

Der Querschnitt einer Satellitenschüssel ist eine Parabel. Im Koordinatensystem (Einheit dm) liegt ihr Scheitel im Ursprung, der Empfänger sitzt im Brennpunkt \(F(0\,|\,1{,}5)\).

  1. Geben Sie die Gleichung der Leitgeraden an.
  2. Weisen Sie nach, dass \(P(6\,|\,6)\) auf dem Querschnitt liegt.
  3. Stellen Sie die Funktionsgleichung des Querschnitts auf.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Der Scheitel liegt genau in der Mitte zwischen \(F\) und \(l\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche den Abstand von \(P\) zu \(F\) (Pythagoras) mit dem Abstand zu \(l\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Wie in 3.1.2: \(\sqrt{x^2+(y-p)^2}=y+p\) quadrieren.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(l\colon y=-1{,}5\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\overline{PF}=\sqrt{6^2+4{,}5^2}=\sqrt{56{,}25}=7{,}5\); Abstand zu \(l\): \(6+1{,}5=7{,}5\). Beide gleich, also liegt \(P\) auf der Parabel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(x^2=4\cdot1{,}5\cdot y=6y\), also \(y=\tfrac16x^2\). Probe: \(\tfrac16\cdot36=6\) ✓.

2

Scheinwerfer-Design

AFB II–III

Ein Designteam plant einen Autoscheinwerfer mit parabelförmigem Spiegel. Die Lampe muss im Brennpunkt sitzen, damit das Licht parallel austritt.

Entwurf A: \(y=\tfrac1{8}x^2\). Entwurf B: \(y=\tfrac12x^2\) (Einheit cm, Scheitel im Ursprung).

  1. Ermitteln Sie für beide Entwürfe die Lage des Brennpunkts.
  2. Vergleichen Sie die Form der beiden Spiegel.
  3. Beurteilen Sie, welcher Entwurf sich eher eignet, wenn die Lampe 1,5 cm Platz nach unten braucht.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Vergleiche mit \(y=\tfrac1{4p}x^2\), \(F(0\,|\,p)\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Streckfaktor und Lage von \(F\) betrachten.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wie viel Raum bleibt zwischen Scheitel und Lampe?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

A: \(\tfrac1{4p}=\tfrac18\Rightarrow p=2\), \(F(0|2)\). B: \(\tfrac1{4p}=\tfrac12\Rightarrow p=0{,}5\), \(F(0|0{,}5)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

B ist enger (Faktor \(\tfrac12\) statt \(\tfrac18\)), sein Brennpunkt liegt nur \(0{,}5\,\mathrm{cm}\) über dem Scheitel. A ist flacher, \(F\) liegt \(2\,\mathrm{cm}\) hoch.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Bei B sitzt die Lampe nur \(0{,}5\,\mathrm{cm}\) über dem Spiegelboden — zu wenig Platz. A bietet \(2\,\mathrm{cm}\) und ist geeigneter. Andere Kriterien (Baugröße) können ergänzend genannt werden.