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Parabeln als Ortslinien

Warum bündelt eine Satellitenschüssel alle Signale in einem Punkt? Die Antwort steckt in einer Abstandsregel.

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Gleich weit von Punkt und Gerade

Eine Ortslinie ist die Menge aller Punkte, die eine Bedingung erfüllen. Für die Parabel lautet sie: gleicher Abstand zu einem Punkt und zu einer Geraden.

  • Brennpunkt:der feste Punkt \(F\), hier \(F(0\,|\,1)\).
  • Leitgerade:die feste Gerade \(l\), hier \(y=-1\).
  • Bedingung:\(\overline{PF}=\overline{PL}\), wobei \(L\) der Lotfußpunkt von \(P\) auf \(l\) ist.
  • Konstruktion:\(L\) auf \(l\) wählen → Senkrechte zu \(l\) in \(L\) → Mittelsenkrechte von \(\overline{FL}\) → Schnittpunkt ist \(P\).

Baue Parabelpunkte Schritt für Schritt: Ziehe \(L\) auf der Leitgeraden (oder Pfeiltasten), dann die drei Bauschritte der Reihe nach. Nach einigen Punkten erscheint die Kurve.

Parabel aus Brennpunkt und Leitgerade

Halte fest: Jeder konstruierte Punkt \(P\) ist von \(F\) und von \(l\) gleich weit entfernt — alle zusammen bilden eine Parabel.

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Die Gleichung der Ortslinie

Mit dem Satz des Pythagoras wird aus der Abstandsregel eine Funktionsgleichung. \(P(x\,|\,y)\) sei ein Punkt über der Leitgeraden.

Herleitung:

\(\sqrt{x^2+(y-1)^2}=y+1\)
| quadrieren
Start: links \(\overline{PF}\) mit Pythagoras, rechts \(\overline{PL}\) — der senkrechte Abstand zu \(y=-1\).
\(x^2+y^2-2y+1=y^2+2y+1\)
| \(-y^2-1\)
Die Wurzel ist weg, beide Klammern mit den binomischen Formeln aufgelöst.
\(x^2-2y=2y\)
| \(+2y\)
\(y^2\) und \(1\) stehen auf beiden Seiten und fallen weg.
\(x^2=4y\)
| \(:4\)
Alle \(y\) auf eine Seite gebracht.
\(y=\tfrac14\,x^2\)
Ergebnis
Die Ortslinie ist eine Parabel mit Scheitel \(S(0\,|\,0)\) — genau in der Mitte zwischen \(F\) und \(l\).
  • Normalparabel:entsteht mit \(F(0\,|\,\tfrac14)\) und \(l\colon y=-\tfrac14\).
Merke

Parabel als Ortslinie: alle Punkte mit \(\overline{PF}=\overline{PL}\); für \(F(0\,|\,1)\), \(l\colon y=-1\) gilt \(y=\tfrac14x^2\)

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Allgemeine Hinweise

Abstand zur Geraden senkrecht

Der Abstand von \(P\) zu \(l\) wird immer auf dem Lot gemessen — nicht schräg zu irgendeinem Punkt der Geraden.

Enger oder weiter

Je näher \(F\) an \(l\) liegt, desto enger wird die Parabel. Der Scheitel liegt immer genau in der Mitte.

Brennpunkt im Alltag

Eine Satellitenschüssel ist eine gedrehte Parabel: Signale, die parallel zur Achse einfallen, treffen sich im Brennpunkt \(F\).

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