Ohne \(x\)-Glied: Wurzel ziehen
Kommt \(x\) nur im Quadrat vor, stellt man nach dem Quadrat um und zieht die Wurzel — mit beiden Vorzeichen.
- Typen:\(x^2+q=0\), \(\;a\,x^2+c=0\), \(\;a\,(x-d)^2+e=0\).
- Anzahl:\(x^2=r\) hat für \(r>0\) zwei, für \(r=0\) eine und für \(r<0\) keine Lösung.
- Mit Klammer:\((x-1)^2=4\) → \(x-1=\pm2\) → \(x=3\) oder \(x=-1\).
Herleitung:
Ohne Zahlglied: ausklammern
Fehlt die Zahl ohne \(x\), steckt in jedem Glied ein \(x\). Man klammert es aus und nutzt den Satz vom Nullprodukt.
- Typen:\(x^2+px=0\), \(\;a\,x^2+b\,x=0\).
- Ausklammern:\(x^2-5x=0\) → \(x\,(x-5)=0\).
- Nullprodukt:\(x=0\) oder \(x-5=0\), also \(x_1=0\), \(x_2=5\).
- Immer dabei:eine der beiden Lösungen ist \(x=0\).
Satz vom Nullprodukt: \(A\cdot B=0\) genau dann, wenn \(A=0\) oder \(B=0\)
Welcher Handgriff passt? Wähle eine Gleichung (Klick oder Enter) und dann das passende Fach — oder ziehe sie hinein. Tasten 1–3 legen die gewählte Karte direkt ab.
Halte fest: Fehlt das \(x\)-Glied, zieht man die Wurzel; fehlt das Zahlglied, klammert man \(x\) aus. Sind alle drei Glieder da, braucht man die Lösungsformel (3.2.3).
Allgemeine Hinweise
Nie durch x teilen
Aus \(2x^2=10x\) wird durch Teilen \(x=5\) — die Lösung \(x=0\) geht verloren. Erst alles auf eine Seite, dann ausklammern.
Das ± nicht vergessen
\(x^2=9\) hat zwei Lösungen, \(3\) und \(-3\). Nur \(\sqrt9=3\) zu schreiben, ist nur die halbe Antwort.
Probe durch Einsetzen
Jede Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen: \(2\cdot(-3)^2-18=0\) ✓.