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Faktorisierte Form und Vieta

Zehn Übungen zu Nullstellen, Zerlegung und dem Satz von Vieta.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung.

A1
Nullstellen ablesen
AFB I

Welche Zahlen sind Nullstellen von f(x) = −3(x + 2)(x − 6)?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Der Faktor −3 liefert keine Nullstelle; aus (x + 2) liest man −2, aus (x − 6) die 6.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Aussagen zu f(x) = 2(x − 1)(x − 7).

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Beim Ausmultiplizieren den Faktor a auf alle Glieder verteilen — sonst stimmen b und c nicht.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die faktorisierte Form zeigt die . Nach Vieta ist die der Lösungen −p und ihr gleich q. Der Scheitel liegt in der der Nullstellen. Vieta gilt nur für die .

Die Diskriminante gehört zur Lösungsformel — sie sagt, ob es eine faktorisierte Form überhaupt gibt.
A4
Welche Form liegt vor?
AFB I

Sortiere die Terme nach ihrer Darstellungsform.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Scheitelpunktform
2allgemeine Form
3faktorisierte Form
5x(x − 2) ist faktorisiert mit x₁ = 0; 4x² + x ist dieselbe Art Term, aber noch nicht zerlegt.
A5
Zweite Lösung mit Vieta
AFB I

x² − 11x + q = 0 hat die Lösung x₁ = 3. Wie groß ist q?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
x₁ + x₂ = 11 → x₂ = 8; q = 3 · 8 = 24.
A6
Faktorisieren mit Vieta
AFB II

Ordne die Schritte, um x² + x − 12 zu faktorisieren.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1p = 1 und q = −12 ablesen
2Zwei Zahlen mit Produkt −12 suchen
3Davon die mit Summe −1: 3 und −4
4x₁ = 3, x₂ = −4
5x² + x − 12 = (x − 3)(x + 4)
Summe der Lösungen ist −p = −1, nicht +1 — das Vorzeichen dreht sich.
A7
Rechenkette
AFB II

Gegeben ist f(x) = 0,5(x + 4)(x − 2).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. x-Koordinate des Scheitels
  2. y-Koordinate des Scheitels
  3. y-Achsenabschnitt
  4. b in der allgemeinen Form
f(x) = 0,5(x² + 2x − 8) = 0,5x² + x − 4. Drei Formen, eine Parabel.
A8
Zerlegung finden
AFB II

Verbinde jede Normalform mit ihrer faktorisierten Form.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
x² − 16 ist die dritte binomische Formel: Summe 0, Produkt −16.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Den Faktor a vergessen und falsche Vorzeichen in den Klammern — beides fällt bei der Probe durch Ausmultiplizieren auf.
A10
Wo liegt der Scheitel?
AFB III

f(x) = (x − x₁)(x − x₂) mit verschiedenen Nullstellen. Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter −4, 2 = −4 bis −1, 3 = zwischen −1 und 1, 4 = 1 bis 4, 5 = über 4. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = unter −45 = über 4
x₁ = −3, x₂ = 3
x₁ = 2, x₂ = 8
x₁ = −10, x₂ = 0
x₁ = −1, x₂ = 5
x₁ = −6, x₂ = 2
x_S ist der Mittelwert der Nullstellen — eine Überschlagsrechnung reicht.