Der Tunnelbogen
AFB I–IIEin Tunnelbogen hat die Form \(f(x)=-\tfrac12\,(x+3)(x-3)\) (Einheit m, \(x\)-Achse = Fahrbahn).
- Nennen Sie die Stellen, an denen der Bogen die Fahrbahn trifft.
- Berechnen Sie die Höhe des Tunnels in der Mitte.
- Überprüfen Sie, ob ein \(2\,\mathrm m\) breiter und \(4\,\mathrm m\) hoher Lkw mittig hindurchpasst.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(x=-3\) und \(x=3\): Der Tunnel ist \(6\,\mathrm m\) breit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f(0)=-\tfrac12\cdot3\cdot(-3)=4{,}5\): \(4{,}5\,\mathrm m\) hoch.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f(1)=-\tfrac12\cdot4\cdot(-2)=4\): An den Lkw-Kanten ist der Tunnel genau \(4\,\mathrm m\) hoch — ohne jeden Spielraum, praktisch passt er nicht.
Gleichungen erfinden
AFB II–IIIFür eine Klassenarbeit sucht eine Lehrerin quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Lösungen.
- Entwickeln Sie eine Gleichung in Normalform mit den Lösungen \(-5\) und \(2\).
- Begründen Sie mit Vieta, dass \(x^2-7x+13=0\) keine ganzzahligen Lösungen haben kann.
- Beweisen Sie: Hat \(x^2+px+q=0\) zwei Lösungen, die Gegenzahlen sind, so ist \(p=0\).
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\((x+5)(x-2)=x^2+3x-10\), also \(x^2+3x-10=0\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ganzzahlige Lösungen müssten Produkt \(13\) haben: \(1\cdot13\) oder \((-1)(-13)\). Die Summen \(14\) bzw. \(-14\) sind nicht \(7\). Also gibt es keine ganzzahligen Lösungen (tatsächlich ist \(D=12{,}25-13<0\)).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Nach Vieta gilt \(x_1+x_2=-p\). Mit \(x_2=-x_1\) ist \(x_1+x_2=0\), also \(p=0\).