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Faktorisierte Form und Vieta

Eine dritte Schreibweise verrät die Nullstellen auf einen Blick — und ein alter Satz verbindet sie mit p und q.

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Nullstellen direkt ablesen

Hat eine Parabel die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\), lässt sich ihre Gleichung als Produkt schreiben: \(f(x)=a\,(x-x_1)(x-x_2)\).

  • Nullstellen:nach dem Satz vom Nullprodukt (3.2.2) sofort \(x_1\) und \(x_2\).
  • Scheitel:genau in der Mitte, \(x_S=\tfrac{x_1+x_2}{2}\), dann \(y_S=f(x_S)\).
  • Beispiel:\(f(x)=2\,(x-1)(x-5)\): Nullstellen \(1\) und \(5\), \(x_S=3\), \(f(3)=2\cdot2\cdot(-2)=-8\), also \(S(3\,|\,-8)\).
  • Grenze:ohne Nullstellen (\(D<0\)) gibt es keine faktorisierte Form.

Schalte die drei Formen einzeln oder zusammen zu. Jede legt über den Graphen, was man aus ihr direkt ablesen kann.

Drei Formen, ein Graph

Halte fest: Alle drei Terme beschreiben dieselbe Parabel — die Scheitelpunktform zeigt \(S\), die allgemeine Form \(c\), die faktorisierte Form die Nullstellen.

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Der Satz von Vieta

Multipliziert man die faktorisierte Form (mit \(a=1\)) aus, erscheinen die Nullstellen in \(p\) und \(q\).

Herleitung:

\(x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)\)
| ausmultiplizieren
Start: Normalform und faktorisierte Form beschreiben dieselbe Funktion.
\(x^2+px+q=x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2\)
| \(x\) ausklammern
Jedes Glied der ersten Klammer mit jedem der zweiten.
\(x^2+px+q=x^2-(x_1+x_2)\,x+x_1x_2\)
| vergleichen
Gleiche Terme haben gleiche Vorfaktoren vor \(x\) und gleiche Zahlglieder.
\(p=-(x_1+x_2),\quad q=x_1\cdot x_2\)
Ergebnis
Das ist der Satz von Vieta.
  • Anwendung:\(x^2-x-6\): gesucht zwei Zahlen mit Produkt \(-6\) und Summe \(1\) → \(3\) und \(-2\).
  • Also:\(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\), Nullstellen \(3\) und \(-2\).
Merke

Satz von Vieta: \(x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)\) mit \(x_1+x_2=-p\) und \(x_1\cdot x_2=q\)

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Allgemeine Hinweise

Minus in der Klammer

\((x+2)\) gehört zur Nullstelle \(-2\), denn \((x-(-2))\). Das Vorzeichen dreht sich beim Ablesen um.

Faktor a nicht vergessen

\(2x^2-12x+10=2\,(x-1)(x-5)\). Vieta gilt erst für die Normalform — vorher durch \(a\) teilen.

Ganze Zahlen raten

Bei ganzzahligem \(q\) die Teiler von \(q\) durchprobieren. Klappt es nicht, hilft die Lösungsformel (3.2.3).

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