Der Bremsweg
AFB I–IIBei Bremsversuchen wurden gemessen: Geschwindigkeit \(v\) in km/h und Bremsweg \(s\) in m:
\(v\): 20, 40, 60, 80, 100 — \(s\): 2,1; 7,9; 18,2; 31,8; 50,3.
Die quadratische Regression liefert \(s(v)\approx0{,}005125v^2-0{,}0135v+0{,}32\) mit \(r^2\approx0{,}9999\).
- Beschreiben Sie, wie man die Regression am GTR durchführt.
- Berechnen Sie mit dem Modell den Bremsweg bei \(70\,\mathrm{km/h}\).
- Interpretieren Sie den Wert \(r^2\approx0{,}9999\).
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
MENU 2, \(v\)-Werte in List 1, \(s\)-Werte in List 2, F2 (CALC), F3 (REG), F3 (X²).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(s\approx0{,}005125\cdot4900-0{,}0135\cdot70+0{,}32\approx25{,}11-0{,}95+0{,}32\approx24{,}5\,\mathrm m\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Parabel beschreibt die Messwerte fast perfekt — der quadratische Zusammenhang passt sehr gut.
Hochrechnen mit Vorsicht
AFB II–IIIEin Verein hat die Besucherzahl eines Sommerfests (in Hundert) über die Jahre 1 bis 6 notiert: 4,0; 6,1; 7,2; 7,8; 7,3; 6,2.
Die Regression liefert \(B(t)\approx-0{,}4t^2+3{,}23t+1{,}18\) mit \(r^2\approx0{,}998\).
- Erläutern Sie, warum eine Parabel hier als Modell infrage kommt.
- Bestimmen Sie die Prognose für Jahr 10.
- Bewerten Sie die Eignung des Modells für langfristige Prognosen.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Zahlen steigen zuerst, erreichen um Jahr 4 ein Maximum und fallen dann — ein Bogen, wie ihn eine nach unten geöffnete Parabel beschreibt; \(r^2\approx0{,}998\) bestätigt die Anpassung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(B(10)\approx-40+32{,}3+1{,}18\approx-6{,}5\): eine negative Besucherzahl.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Das Modell ist nur für Jahr 1 bis 6 belegt. Die Prognose für Jahr 10 ist unsinnig (negativ). Für langfristige Aussagen braucht man mehr Daten oder ein anderes Modell; kurzfristig (Jahr 7) ist eine vorsichtige Schätzung möglich.