Messwerte und Augenmaß
Aus einem Video wurde die Flugbahn eines Balls vermessen: waagerechte Weite \(x\) und Höhe \(y\), beide in m. Die Punkte streuen etwas.
- Streuung:keine Parabel geht durch alle Messpunkte.
- Ausgleichen:die Parabel so legen, dass die Punkte gut verteilt darüber und darunter liegen.
- Abweichung:senkrechter Abstand eines Punkts zur Kurve.
- Gütemaß:Summe der quadrierten Abweichungen — je kleiner, desto besser.
Ziehe den Scheitel \(S\) und den Punkt \(P\) (oder Pfeiltasten), bis die roten Abweichungen möglichst klein sind. Dann vergleiche mit der Regression des GTR.
Halte fest: Die beste Parabel macht die Summe der Abweichungsquadrate so klein wie möglich — genau diese berechnet der GTR bei der Regression.
Quadratische Regression mit dem GTR
Der Casio fx-CG50 berechnet die Ausgleichsparabel im Menü Statistik.
- Daten:MENU 2, \(x\)-Werte in List 1, \(y\)-Werte in List 2.
- Rechnen:F2 (CALC), F3 (REG), F3 (X²).
- Ausgabe:\(a=-0.09583333333\), \(b=1.110714286\), \(c=1.804761905\), \(r^2=0.9974195507\).
- Modell:\(y\approx-0{,}096\,x^2+1{,}111\,x+1{,}805\).
- Güte:\(r^2\) nahe \(1\) — die Parabel beschreibt die Messwerte sehr gut.
- Nutzen:Landepunkt ist die positive Nullstelle, \(x\approx13{,}0\,\mathrm m\) (3.3.1).
Ausgleichsparabel: \(y=ax^2+bx+c\) mit kleinster Summe der Abweichungsquadrate — GTR: STAT → CALC → REG → X²
Allgemeine Hinweise
Nicht durch alle Punkte
Eine Kurve, die jeden Messpunkt trifft, passt sich dem Messfehler an. Gesucht ist der Trend, nicht jede Zacke.
Nur im Messbereich sicher
Das Modell gilt zwischen den Messwerten gut. Weit außerhalb — etwa bei \(x=20\,\mathrm m\) — ergibt es Unsinn wie negative Höhen.
Erst den Streuplot ansehen
Vor der Regression die Punkte zeichnen lassen: Sieht die Wolke nicht nach Parabel aus, ist X² das falsche Modell.