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Die allgemeine Form

Zehn Übungen zu ausmultiplizieren und quadratischer Ergänzung.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung.

A1
Gleiche Funktion?
AFB I

Welche Terme sind gleich f(x) = (x − 4)² − 1?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
(x − 4)² = x² − 8x + 16 — das doppelte Produkt 2 · 4 · x wird oft vergessen oder falsch berechnet.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Aussagen zur allgemeinen Form f(x) = ax² + bx + c.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Die quadratische Ergänzung ist immer ein Quadrat und damit positiv — das Vorzeichen von b steckt in der Klammer.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form muss man . Dabei hilft die . Zurück geht es mit quadratischer Ergänzung: Man muss die fehlende Ecke und wieder abziehen, dann die Zahlen . Ist a ≠ 1, muss man a zuerst .

Kürzen gibt es bei Brüchen — bei der Umformung von Funktionstermen verändert es die Funktion.
A4
Welche Ergänzung passt?
AFB I

Ordne jeden Term der Zahl zu, die man zum vollständigen Quadrat ergänzen muss.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1ergänze 4
2ergänze 16
3ergänze 2,25
Die Ergänzung ist (b/2)² — das Vorzeichen von b und das Zahlglied c spielen dafür keine Rolle.
A5
Scheitel ohne Umformen
AFB I

Welche x-Koordinate hat der Scheitelpunkt von f(x) = 2x² − 12x + 7?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
x_S = −b/(2a) = 12/4 = 3. Das folgt aus der quadratischen Ergänzung mit Buchstaben.
A6
Ergänzen mit a ≠ 1
AFB II

Bringe die Umformung von f(x) = 3x² + 12x + 5 in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
13x² + 12x + 5
23(x² + 4x) + 5
33(x² + 4x + 4 − 4) + 5
43((x + 2)² − 4) + 5
53(x + 2)² − 7
Im vorletzten Schritt wird die −4 mit 3 multipliziert: −12 + 5 = −7. Genau hier passieren die meisten Fehler.
A7
Rechenkette
AFB II

Forme f(x) = x² + 10x + 21 in die Scheitelpunktform um.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Ergänzung (b/2)²
  2. d in (x − d)²
  3. e = 21 − Ergänzung
  4. Funktionswert f(−5)
f(x) = (x + 5)² − 4; f(−5) ist der Scheitelwert — eine gute Probe.
A8
Allgemein trifft Scheitelpunktform
AFB II

Verbinde die zusammengehörenden Terme.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Schnelle Kontrolle: c muss gleich f(0) der Scheitelpunktform sein, z. B. (0 + 3)² − 1 = 8.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Klassiker: die Hälfte von b vergessen, die Ergänzung nicht abziehen oder sie nicht mit a multiplizieren.
A10
Wo liegt der Scheitel?
AFB III

Schätze die x-Koordinate des Scheitels von f(x) = x² + bx + 1 für verschiedene b. Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter −3, 2 = −3 bis −1, 3 = zwischen −1 und 1, 4 = 1 bis 3, 5 = über 3. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = unter −35 = über 3
b = 10
b = −4
b = 0,5
b = 3
b = −12
x_S = −b/2: Das Vorzeichen dreht sich um — großes positives b schiebt den Scheitel nach links.