Der Kopfball
AFB I–IIDie Flugbahn eines Balls nach einem Kopfball wird durch \(h(x)=-0{,}2x^2+1{,}6x+2\) beschrieben (\(x\) waagerechte Entfernung, \(h\) Höhe, jeweils in m).
- Geben Sie die Höhe an, in der der Ball den Kopf verlässt.
- Fassen Sie \(h(x)\) mit quadratischer Ergänzung zur Scheitelpunktform zusammen.
- Interpretieren Sie den Scheitelpunkt im Sachzusammenhang.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(h(0)=2\): in \(2\,\mathrm m\) Höhe.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(h(x)=-0{,}2\,(x^2-8x)+2=-0{,}2\,\big((x-4)^2-16\big)+2=-0{,}2\,(x-4)^2+5{,}2\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(S(4\,|\,5{,}2)\): \(4\,\mathrm m\) nach dem Kopfball erreicht der Ball seine größte Höhe von \(5{,}2\,\mathrm m\).
Zwei Lösungswege
AFB II–IIIGesucht ist der Scheitelpunkt von \(f(x)=2x^2-6x+1\).
Aylin ergänzt quadratisch. Ben benutzt \(x_S=-\tfrac b{2a}\) und setzt dann ein.
- Stellen Sie Aylins Lösungsweg vollständig dar.
- Bestätigen Sie das Ergebnis mit Bens Weg.
- Bewerten Sie beide Wege: Wann ist welcher günstiger?
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(2\,(x^2-3x)+1=2\,\big((x-1{,}5)^2-2{,}25\big)+1=2\,(x-1{,}5)^2-3{,}5\), also \(S(1{,}5\,|\,-3{,}5)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(x_S=\tfrac{6}{4}=1{,}5\); \(f(1{,}5)=2\cdot2{,}25-9+1=-3{,}5\) ✓.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bens Weg ist kürzer, wenn nur \(S\) gesucht ist. Aylins Weg liefert zusätzlich die Scheitelpunktform, die man z. B. zum Skizzieren oder für Nullstellen braucht; bei ganzzahligem \(\tfrac b2\) ist er ebenso schnell.