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Die allgemeine Form

Ausmultipliziert sieht jede Parabel gleich aus: ax² + bx + c. Wie findet man darin den Scheitelpunkt wieder?

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Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form

Löst man die Klammer der Scheitelpunktform auf, entsteht die allgemeine Form \(f(x)=a\,x^2+b\,x+c\).

  • \(a\):derselbe Streckfaktor wie in der Scheitelpunktform.
  • \(c\):\(y\)-Achsenabschnitt, denn \(f(0)=c\).
  • Nachteil:den Scheitelpunkt sieht man nicht mehr.

Herleitung:

\(f(x)=2\,(x-1)^2+3\)
| 2. binom. Formel
Start: Scheitelpunktform mit \(S(1\,|\,3)\).
\(f(x)=2\,(x^2-2x+1)+3\)
| ausmultiplizieren
\((x-1)^2=x^2-2x+1\) — die Klammer bleibt zunächst stehen.
\(f(x)=2x^2-4x+2+3\)
| zusammenfassen
Jedes Glied der Klammer mit \(2\) multipliziert.
\(f(x)=2x^2-4x+5\)
Ergebnis
Allgemeine Form mit \(a=2\), \(b=-4\), \(c=5\).
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Zurück mit quadratischer Ergänzung

Umgekehrt ergänzt man \(x^2+bx\) zu einem vollständigen Quadrat. Die Flächen zeigen, welches Stück fehlt.

Zerlege den Streifen \(b\cdot x\) in zwei Hälften, ziehe eine Hälfte unter das Quadrat (oder Pfeiltasten) und ergänze die Ecke.

Quadrat ergänzen

Halte fest: \(x^2+bx\) fehlt zum Quadrat \((x+\tfrac b2)^2\) genau die Ecke \((\tfrac b2)^2\) — sie wird addiert und gleich wieder abgezogen.

Herleitung:

\(f(x)=x^2+6x+5\)
| \(+9-9\)
Start: \(b=6\), also fehlt die Ecke \((\tfrac62)^2=9\).
\(f(x)=x^2+6x+9-9+5\)
| 1. binom. Formel
\(+9-9\) ändert den Wert nicht.
\(f(x)=(x+3)^2-9+5\)
| zusammenfassen
\(x^2+6x+9=(x+3)^2\).
\(f(x)=(x+3)^2-4\)
Ergebnis
Scheitelpunktform mit \(S(-3\,|\,-4)\).
  • \(a\ne1\):erst \(a\) aus \(ax^2+bx\) ausklammern: \(2x^2+8x+1=2\,(x^2+4x)+1=2\,(x+2)^2-7\).
Merke

Quadratische Ergänzung: \(x^2+bx+c=\left(x+\tfrac b2\right)^2-\left(\tfrac b2\right)^2+c\)

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Allgemeine Hinweise

Ergänzen heißt: plus und minus

Wer nur \(+9\) schreibt, verändert die Funktion. Die Ecke wird addiert und wieder subtrahiert.

Minus bleibt in der Klammer

\(x^2-6x+5=(x-3)^2-4\) — das Vorzeichen von \(b\) wandert in die Klammer, das Quadrat \(9\) ist trotzdem positiv.

Probe durch Ausmultiplizieren

Das Ergebnis der Ergänzung ausmultiplizieren — es muss wieder die allgemeine Form herauskommen.

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