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Zweistufige Zufallsexperimente

Gummibärchen, Lose und Skatkarten: Zehn Übungen dazu, was die erste Stufe mit der zweiten macht.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen, von AFB I bis AFB III — zum Klicken, Ziehen, Zuordnen und Rechnen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung und erklärt danach den typischen Fehler.

A1
Zweistufig oder nicht?
AFB I

Welche Vorgänge sind zweistufige Zufallsexperimente?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Zweistufig heißt: zwei Zufallsvorgänge nacheinander. Das Verdoppeln einer Augenzahl ist Rechnen, kein zweiter Zufall — und Zählen ist gar kein Zufall.
A2
Ändert sich die zweite Stufe?
AFB I

Sortiere: Sieht die zweite Stufe aus wie die erste (wie mit Zurücklegen) — oder hängt sie vom ersten Ergebnis ab (wie ohne Zurücklegen)?

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Stufe 2 wie Stufe 1
2Stufe 2 hängt von Stufe 1 ab
Würfel, Münze und Glücksrad „vergessen“ den ersten Versuch. Was weggenommen wird, fehlt beim zweiten Mal — auch wenn beides gleichzeitig passiert.
A3
Gummibärchen-Tüte
AFB I

In einer Tüte sind 4 rote und 6 grüne Gummibärchen. Du ziehst nacheinander zwei, ohne Zurücklegen. Das erste ist rot. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das zweite auch rot?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt. Brüche wie 3/8 sind erlaubt.
Nach einem roten liegen noch 3 rote unter 9 Gummibärchen: 3/9 = 1/3. Typischer Fehler: 4/10 oder 3/10 — Zähler und Nenner ändern sich.
A4
Einen Baum ohne Zurücklegen zeichnen
AFB II

Bringe die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Vom Startpunkt aus für jedes Ergebnis der 1. Stufe einen Ast zeichnen.
2Die Wahrscheinlichkeiten der 1. Stufe an diese Äste schreiben.
3Für jeden Ast überlegen, wie der Inhalt danach aussieht.
4Die Äste der 2. Stufe mit dem neuen Nenner n − 1 beschriften.
5An jedem Knoten prüfen, ob die Äste zusammen 1 ergeben.
Der dritte Schritt wird am häufigsten übersprungen. Wer nicht überlegt, was nach dem ersten Zug fehlt, schreibt an die 2. Stufe einfach die Werte der 1. Stufe.
A5
Die Losbude
AFB II

In der Losbude sind noch 10 Lose: 2 Gewinne, 8 Nieten. Lena zieht zwei Lose nacheinander. Ordne zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
In der 2. Stufe steht immer der Nenner 9. Im Zähler fehlt nur dann einer, wenn im 1. Zug schon dieselbe Sorte gezogen wurde.
Nach dem ersten Los sind nur noch 9 Lose in der Bude.
Wurde zuerst ein Gewinn gezogen, ist nur noch 1 Gewinn übrig.
A6
Buchstaben ziehen
AFB II

Fünf Kärtchen mit den Buchstaben M, A, T, H, E liegen verdeckt. Nacheinander werden zwei gezogen, ohne Zurücklegen. Ein Ergebnis ist ein Paar wie (M, A).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Brüche wie 3/8 sind erlaubt.
  1. Wie viele Äste gehen vom Startpunkt aus? Äste
  2. Wie viele Äste hängen an jedem Knoten der 2. Stufe? Äste
  3. Wie viele Ergebnisse (Pfade) gibt es insgesamt? Pfade
  4. Wie viele Ergebnisse bestehen aus zwei Vokalen? Pfade
5 · 4 = 20 Pfade. Vokale sind A und E: (A, E) und (E, A) — zwei verschiedene Ergebnisse, weil die Reihenfolge zählt.
Ohne Zurücklegen: In der 2. Stufe ist ein Kärtchen weniger da.
Die Reihenfolge zählt: (A, E) ist ein anderer Pfad als (E, A).
A7
Fehlersuche: zwei Asse
AFB II

Aus einem Skatblatt mit 32 Karten (darunter 4 Asse) zieht Ben nacheinander zwei Karten, ohne Zurücklegen. Drei seiner Notizen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der häufigste Fehler ist Zeile 2: Nach einem Ass ändert sich der Zähler und der Nenner.
A8
Wie viele Ergebnisse?
AFB II

Finde zu jedem zweistufigen Experiment die Anzahl der möglichen Ergebnisse (Pfade).

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen — sonst drehen sie sich wieder um.
Versuche: 0 von 16
Anzahl der Pfade = Äste der 1. Stufe mal Äste pro Knoten der 2. Stufe. Beim Auslosen ohne Zurücklegen: 3 · 2 = 6, nicht 3 · 3.
A9
Welches Modell passt?
AFB III

Aus einer Klasse mit 28 Schülerinnen und Schülern werden nacheinander die Klassensprecherin oder der Klassensprecher und danach die Stellvertretung ausgelost.

Beantworte die Fragen mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
    Niemand kann zugleich Sprecher und eigener Stellvertreter sein, also ohne Zurücklegen. Und „Sprecherin Ada, Stellvertreter Ben“ ist etwas anderes als umgekehrt — die Reihenfolge zählt.
    A10
    Wird Rot wahrscheinlicher?
    AFB III

    Zieht man aus einer Urne mit gleich vielen roten und blauen Kugeln, ist P(rot) = 0,5. Schätze für jede Situation, wie sich die Wahrscheinlichkeit für rot im 2. Zug gegenüber 0,5 verändert — ohne genau zu rechnen.

    Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = deutlich kleiner, 2 = etwas kleiner, 3 = gleich, 4 = etwas größer, 5 = deutlich größer. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
    1 = deutlich kleiner5 = deutlich größer
    5 rote, 5 blaue, ohne Zurücklegen, 1. Kugel rot
    5 rote, 5 blaue, ohne Zurücklegen, 1. Kugel blau
    5 rote, 5 blaue, mit Zurücklegen, 1. Kugel rot
    2 rote, 2 blaue, ohne Zurücklegen, 1. Kugel rot
    2 rote, 2 blaue, ohne Zurücklegen, 1. Kugel blau
    Je kleiner die Urne, desto stärker wirkt das Wegnehmen: 4/9 ≈ 0,44 bei zehn Kugeln, aber 1/3 bei vier Kugeln. Mit Zurücklegen bleibt alles bei 0,5.
    Ohne Zurücklegen: Fehlt eine rote, sinkt der rote Anteil. Fehlt eine blaue, steigt er.
    Vergleiche 4/9 mit 1/3: Bei wenigen Kugeln macht eine einzelne viel aus.