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Zweistufige Zufallsexperimente

Kugelschreiber und Teebeutel: Zwei Aufgaben, in denen die zweite Stufe von der ersten abhängt.

1

Die Stifte in der Federmappe

AFB I–II

In Emils Federmappe liegen 3 blaue und 2 rote Kugelschreiber. Er nimmt ohne hinzusehen einen heraus, legt ihn auf den Tisch und nimmt dann einen zweiten.

  1. Zeichnen Sie ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm.
  2. Nennen Sie alle Ergebnisse des Experiments.
  3. Vergleichen Sie die zweite Stufe mit der Situation, in der Emil den ersten Stift zurücklegt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Nach dem ersten Zug sind nur noch 4 Stifte in der Mappe.
Hinweis zu Aufgabe b)
Jeder Pfad ist ein Ergebnis. Die Reihenfolge zählt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Brüche stehen dann an den Ästen der 2. Stufe?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Lösung
3/5blau2/4blau2/4rot2/5rot3/4blau1/4rot
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

(blau, blau), (blau, rot), (rot, blau), (rot, rot) — vier Ergebnisse.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mit Zurücklegen stehen an beiden Knoten der 2. Stufe wieder \(\frac35\) und \(\frac25\). Ohne Zurücklegen hängen die Äste vom 1. Zug ab (\(\frac24\) bzw. \(\frac34\) für blau) und haben den Nenner 4.

2

Die Teedose

AFB II–III

In einer Teedose liegen noch 6 Teebeutel, die von außen gleich aussehen: 4 Pfefferminz und 2 Kamille. Nora nimmt ohne hinzusehen nacheinander zwei Beutel heraus. Ihr Bruder meint: „Das ist doch dasselbe wie zweimal eine Münze werfen — Minze oder Kamille, jeweils zwei Möglichkeiten.“

Baumdiagramm Teedose
?Minze?Minze?Kamille?Kamille?Minze?Kamille
  1. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten an allen Ästen des Baumdiagramms.
  2. Widerlegen Sie die Aussage des Bruders.
  3. Untersuchen Sie, ob sich die 2. Stufe ändert, wenn Nora beide Beutel gleichzeitig greift.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Nach einem Minzbeutel: Wie viele Minzbeutel liegen noch in der Dose, und wie viele Beutel insgesamt?
Hinweis zu Aufgabe b)
Was müsste bei einer Münze an allen Ästen stehen?
Hinweis zu Aufgabe c)
Kann derselbe Beutel zweimal gegriffen werden?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

1. Stufe: Minze \(\frac46\), Kamille \(\frac26\). Nach Minze: Minze \(\frac35\), Kamille \(\frac25\). Nach Kamille: Minze \(\frac45\), Kamille \(\frac15\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Bei einer Münze stünde an jedem Ast \(\frac12\), und die 2. Stufe hinge nicht von der 1. ab. Hier ist schon \(P(\text{Minze})=\frac46\ne\frac12\), und die Äste der 2. Stufe sind nach Minze und nach Kamille verschieden. Zwei mögliche Ausgänge bedeuten nicht, dass beide gleich wahrscheinlich sind.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Nein. Auch beim gleichzeitigen Greifen kann derselbe Beutel nicht zweimal vorkommen. Man denkt sich eine Reihenfolge und rechnet wie beim Ziehen ohne Zurücklegen — die Äste bleiben dieselben.