MINT lernen

Variabilität der Daten

Parallelklassen und Pausenhof: Zwei Aufgaben dazu, was eine Stichprobe verrät — und was nicht.

1

Zwei Parallelklassen

AFB I–II

Die Klassen 9a und 9b (je 25 Schülerinnen und Schüler) erheben dieselbe Vierfeldertafel zu den Merkmalen „Sportverein“ (\(V\)) und „mindestens eine Stunde Bildschirmzeit am Abend“ (\(B\)). Die 9a erhält für das Feld „\(V\) und \(B\)“ die relative Häufigkeit \(0{,}16\), die 9b \(0{,}32\). Ein Schüler sagt: „Eine der Klassen hat sich verzählt.“

  1. Geben Sie an, wie viele Personen in jeder Klasse im Feld „\(V\) und \(B\)“ stehen.
  2. Berechnen Sie den Faustregel-Abstand für eine Stichprobe mit \(n=25\).
  3. Beurteilen Sie die Aussage des Schülers.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Relative Häufigkeit mal 25.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\frac{1}{\sqrt{n}}\)
Hinweis zu Aufgabe c)
Kann der Unterschied von 0,16 durch Zufall entstehen?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

9a: \(0{,}16\cdot25=4\) Personen, 9b: \(0{,}32\cdot25=8\) Personen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac15=0{,}2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Unterschied beträgt \(0{,}16\) und ist kleiner als der Faustregel-Abstand \(0{,}2\). Bei nur 25 Personen verschieben schon vier Personen den Anteil um \(0{,}16\). Der Unterschied kann also gut durch Zufall entstehen — ein Zählfehler ist nicht nötig, um ihn zu erklären.

2

Die Pausenhof-Umfrage

AFB II–III

Die Schulleitung möchte wissen, wie viele Jugendliche sich eine überdachte Sitzecke auf dem Pausenhof wünschen. Die 10b befragt dafür in einer großen Pause die ersten 30 Personen, die am Kiosk anstehen: 24 sind dafür. Die Schülerzeitung meldet: „80 % der Schule wollen die Sitzecke!“

  1. Bestimmen Sie den Schätzbereich nach der Faustregel.
  2. Erläutern Sie, warum die Auswahl der Befragten problematisch ist.
  3. Entwickeln Sie einen Vorschlag für eine aussagekräftigere Befragung und ermitteln Sie, wie viele Personen man befragen sollte, damit der Faustregel-Abstand höchstens \(0{,}05\) beträgt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(h\pm\frac{1}{\sqrt{30}}\)
Hinweis zu Aufgabe b)
Wer steht in der Pause am Kiosk — und wer nicht?
Hinweis zu Aufgabe c)
\(\frac{1}{\sqrt{n}}\le0{,}05\) — nach \(n\) auflösen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(h=\frac{24}{30}=0{,}8\), \(\frac{1}{\sqrt{30}}\approx0{,}18\). Schätzbereich etwa \(0{,}62\) bis \(0{,}98\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Stichprobe ist nicht zufällig: Wer am Kiosk ansteht, ist in der Pause draußen und nutzt den Pausenhof vermutlich mehr als andere. Solche Personen wünschen sich eine Sitzecke vielleicht häufiger. Die Faustregel gilt nur für zufällig ausgewählte Stichproben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zum Beispiel aus jeder Klasse zufällig einige Personen per Los auswählen, sodass alle Jahrgänge vertreten sind. Aus \(\frac{1}{\sqrt{n}}\le0{,}05\) folgt \(\sqrt{n}\ge20\), also \(n\ge400\) Befragte.