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Wahrscheinlichkeiten ermitteln

Wurmige Äpfel, Spam und dunkle Brötchen: Zehn Übungen zum Rückschluss vom Befund auf die Ursache.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen, von AFB I bis AFB III — zum Klicken, Ziehen, Zuordnen und Rechnen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung und erklärt danach den typischen Fehler.

A1
In welche Richtung wird gefragt?
AFB I

Äpfel kommen von Hof X oder Hof Y, manche sind wurmig (W). Welche Aussagen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Beim Rückschluss teilt man durch P(W), also durch alle Wege in den Befund. Welche Quelle mehr liefert, sagt allein noch nichts über die Herkunft der wurmigen Äpfel.
A2
Natürliche Richtung oder Rückschluss?
AFB I

Sortiere die Fragen.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1natürliche Richtung (Ursache → Befund)
2Rückschluss (Befund → Ursache)
Im Rückschluss ist der Befund schon bekannt („ist wurmig“, „wurde markiert“) und man fragt nach der Ursache davor.
A3
Wie viele sind wurmig?
AFB II

70 % der Äpfel eines Marktstands kommen von Hof X, 30 % von Hof Y. Von X sind 2 % wurmig, von Y 10 %. Berechne P(W).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt. Brüche wie 3/8 sind erlaubt.
P(W) = 0,7 · 0,02 + 0,3 · 0,1 = 0,014 + 0,03 = 0,044. Typischer Fehler: die Äste 0,02 + 0,1 addieren.
A4
Mit 1000 Äpfeln denken
AFB II

Derselbe Marktstand wie in A3, jetzt mit 1000 Äpfeln. Ergänze die Tafel und bestimme den Anteil der wurmigen Äpfel, die von Hof X stammen.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Brüche wie 3/8 sind erlaubt.
1000 ÄpfelWWSumme
Hof X14700
Hof Y300
Summe1000
Anteil von X unter den wurmigen Äpfeln:
Von den 44 wurmigen Äpfeln stammen nur 14 von X: 14 : 44 ≈ 0,32. Obwohl X mehr liefert, kommt ein wurmiger Apfel eher von Y.
Hof Y: 10 % von 300 sind wurmig.
Der gesuchte Anteil ist das Feld „X und W“ geteilt durch die Summe der Spalte W.
A5
Der Spamfilter
AFB II

30 % aller Mails sind Spam. Der Filter markiert 90 % der Spam-Mails, aber auch 5 % der normalen Mails.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Brüche wie 3/8 sind erlaubt.
  1. P(Spam und markiert)
  2. P(normal und markiert)
  3. P(markiert)
  4. P(Spam, wenn markiert) — auf drei Stellen
0,27 : 0,305 ≈ 0,885. Rund 88,5 % der markierten Mails sind wirklich Spam — der Rest sind Fehlalarme.
Die normalen Mails sind 70 %.
Rückschluss: Pfad über Spam durch P(markiert).
A6
Rechnung und Bedeutung
AFB II

Spamfilter aus A5. Verbinde jede Rechnung mit ihrer Bedeutung.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Die letzten beiden Rechnungen ergänzen sich zu 1: Eine markierte Mail ist entweder Spam oder normal.
A7
Stimmt's? — Filter richtig deuten
AFB II

Spamfilter aus A5: 30 % Spam, 90 % der Spam-Mails markiert, 5 % der normalen Mails markiert.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Bei jeder Prozentangabe fragen: „von wem?“ — von den Spam-Mails oder von den markierten Mails?
A8
Fehlersuche am Marktstand
AFB II

Aufgabe aus A3: X liefert 70 % (2 % wurmig), Y liefert 30 % (10 % wurmig). Drei Zeilen im Heft sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 4 ist der Klassiker: Wer durch P(X) teilt, rechnet nur den alten Ast zurück, statt die Frage umzudrehen.
Beim Rückschluss steht im Nenner immer die Wahrscheinlichkeit des Befunds.
A9
Die Formel für den Rückschluss
AFB II

Setze die Formel zusammen, mit der man aus dem Befund W auf den Hof X zurückschließt.

Setze den Ausdruck von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Im umgedrehten Baum steht W zuerst: P(W) · PW(X) = P(X und W). Daraus folgt die Formel.
A10
Die dunklen Brötchen
AFB III

Ein Kiosk bekommt Brötchen von Bäckerei 1 (80 %) und Bäckerei 2 (20 %). Von Bäckerei 1 sind 5 % zu dunkel gebacken, von Bäckerei 2 aber 30 %. Ein Brötchen ist zu dunkel. Von welcher Bäckerei stammt es wohl?

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Obwohl Bäckerei 2 nur ein Fünftel liefert, stammen 60 % der dunklen Brötchen von ihr — ihr hoher Fehleranteil gibt den Ausschlag.