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Wahrscheinlichkeiten ermitteln

Stau-Warnung und Getränkeautomat: Zwei Aufgaben, in denen vom Befund auf die Ursache geschlossen wird.

1

Die Stau-Warnung

AFB I–II

Auf der Umgehungsstraße vor der Schule gibt es an 20 % der Schultage morgens Stau (\(R\)). Eine Navi-App warnt an 85 % der Stautage schon beim Losfahren (\(V\)). An staufreien Tagen warnt sie in 10 % der Fälle trotzdem.

  1. Zeichnen Sie ein beschriftetes Baumdiagramm mit \(R\) auf der ersten Stufe.
  2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die App warnt.
  3. Bestimmen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit tatsächlich Stau ist, wenn die App warnt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Knotenregel für die fehlenden Äste.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zwei Pfade enden in \(V\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Rückschluss: \(P_V(R)=\frac{P(R\text{ und }V)}{P(V)}\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Lösung
0,2R0,85V0,170,15V0,030,8R0,1V0,080,9V0,72
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(V)=0{,}2\cdot0{,}85+0{,}8\cdot0{,}1=0{,}17+0{,}08=0{,}25\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P_V(R)=\frac{0{,}17}{0{,}25}=0{,}68\). Warnt die App, ist in 68 % der Fälle tatsächlich Stau.

2

Der Getränkeautomat

AFB II–III

In der Schule stehen zwei Getränkeautomaten. Automat \(A\) wird für 75 % aller Käufe genutzt, Automat \(B\) für 25 %. Bei \(A\) bleibt in 4 % der Fälle die Flasche hängen (\(H\)), bei \(B\) in 12 % der Fälle. Der Hausmeister bekommt eine Beschwerde: „Meine Flasche hängt fest!“ — leider ohne Angabe des Automaten.

  1. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Beschwerde Automat \(B\) betrifft.
  2. Erklären Sie, warum \(B\) trotz nur 25 % der Käufe die Hälfte der Beschwerden verursacht.
  3. Untersuchen Sie, wie hoch der Fehleranteil von \(B\) höchstens sein darf, damit höchstens ein Viertel der Beschwerden von \(B\) stammt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Denken Sie an 1000 Käufe.
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleichen Sie Anteil an den Käufen und Fehleranteil.
Hinweis zu Aufgabe c)
Setzen Sie den Fehleranteil von \(B\) als \(x\) an und stellen Sie eine Bedingung für \(P_H(B)\) auf.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Bei 1000 Käufen: \(A\): 750 Käufe, davon 30 hängen fest; \(B\): 250 Käufe, davon 30 hängen fest. \(P_H(B)=\frac{30}{60}=0{,}5\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(B\) wird dreimal seltener genutzt als \(A\), hat aber einen dreimal so hohen Fehleranteil (12 % statt 4 %). Beide Effekte gleichen sich aus: Beide Automaten liefern gleich viele Beschwerden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P_H(B)=\frac{0{,}25x}{0{,}03+0{,}25x}\le\frac14\). Umformen: \(x\le0{,}03+0{,}25x\) ergibt \(0{,}75x\le0{,}03\), also \(x\le0{,}04\). Der Fehleranteil von \(B\) dürfte höchstens so groß sein wie der von \(A\), nämlich 4 %.