Aufgabenblock — AFB III
Hier reicht Rechnen allein nicht mehr — du sollst beurteilen, rückwärts arbeiten und zu Behauptungen Stellung nehmen. Die Aufgaben gehen quer durch das ganze Kapitel: von Anteilen in Tafeln über Pfadregeln bis zu Basisrate, Unabhängigkeit und Zufallsschwankungen. Wahrscheinlichkeiten gibst du als Dezimalzahl oder Bruch ein (z. B. 0,3 oder 3/10). Bei den Begründungsteilen gilt: erst selbst formulieren, dann die Musterlösung öffnen.
In zwei Schulen wurde gefragt: „Liegt dein Handy nachts neben dem Bett?“ In der Schule Nord antworteten 84 von 240 Befragten mit Ja, in der Schule Süd 60 von 150.
Die Schülerzeitung titelt: „In Nord ist das Handy-Problem größer — dort sind es 24 Ja-Stimmen mehr!“
c) Nimm Stellung zur Schlagzeile in 2–3 Sätzen. Welche Zahl hätte die Zeitung vergleichen müssen?
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a) hNord = 84 : 240 = 0,35 (35 %)
b) hSüd = 60 : 150 = 0,4 (40 %)
c) Die Schlagzeile ist irreführend. Sie vergleicht absolute Häufigkeiten, obwohl in Nord 90 Personen mehr befragt wurden. Aussagekräftig ist der Anteil: In Süd liegt das Handy bei 40 % der Befragten neben dem Bett, in Nord nur bei 35 %. Wenn überhaupt, ist das „Problem“ also in Süd größer. Die Zeitung hätte die relativen Häufigkeiten vergleichen müssen.
In einer Stadtbibliothek wurden an einem Tag 400 Besucher gezählt. Merkmale: U = „unter 18 Jahre“, E = „leiht E-Books aus“. Bekannt ist nur: 55 % sind unter 18, 40 % leihen E-Books aus, und 90 Besucher sind unter 18 und leihen E-Books aus.
b) Begründe, warum bei bekannter Gesamtzahl drei passende Angaben genügen, um die ganze Tafel auszufüllen. c) Zeige mit einem Gegenbeispiel, dass die beiden Randsummen 220 und 160 allein nicht genügen.
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a) U: 0,55 · 400 = 220, U: 180. E: 0,4 · 400 = 160. U und E: 160 − 90 = 70. U und E: 180 − 70 = 110 Besucher.
b) Die vier inneren Felder sind durch die Summen verknüpft: In jeder Zeile und jeder Spalte gilt „Feld + Feld = Randsumme“, und alle vier Felder zusammen ergeben die Gesamtzahl. Kennt man die Gesamtzahl und drei weitere passende Werte (hier zwei Randsummen aus verschiedenen Richtungen und ein inneres Feld), kann man jedes fehlende Feld als Differenz ausrechnen. Es bleibt keine Wahlmöglichkeit.
c) Mit U = 220 und E = 160 passen z. B. „U und E = 90“ (wie oben) und „U und E = 100“: dann wären U und E = 120, U und E = 60, U und E = 120. Beide Tafeln haben dieselben Randsummen — also legen die Randsummen allein die inneren Felder nicht fest.
In einer Lostrommel liegen 10 Lose, davon 3 Gewinne. Mia zieht zuerst ein Los und behält es, danach zieht Ben. Ben beschwert sich: „Unfair! Wenn Mia schon einen Gewinn erwischt hat, bleiben für mich weniger übrig. Als Zweiter bin ich im Nachteil.“
b) Beurteile Bens Aussage. c) Erkläre ohne Rechnung, warum das Ergebnis aus a) kein Zufall ist.
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a) P(Ben gewinnt) = 3/10 · 2/9 + 7/10 · 3/9 = 6/90 + 21/90 = 27/90 = 0,3.
b) Bens Aussage ist falsch. Zwar sinkt seine Chance auf 2/9, wenn Mia gewonnen hat — aber sie steigt auf 3/9, wenn Mia eine Niete gezogen hat, und das ist wahrscheinlicher (7/10). Insgesamt hat Ben genau dieselbe Chance wie Mia: 0,3.
c) Solange Ben Mias Los nicht kennt, weiß er nichts Zusätzliches. Man kann sich vorstellen, dass beide ihr Los gleichzeitig ziehen — dann ist klar, dass kein Los bevorzugt ist. Jedes der 10 Lose landet mit gleicher Wahrscheinlichkeit bei Ben, also gewinnt er mit 3/10. Die Reihenfolge spielt erst eine Rolle, wenn man Mias Ergebnis schon kennt.
Ein Online-Shop wertet Bestellungen aus: A = „über die App bestellt“, R = „Ware wird zurückgeschickt“. Bekannt: P(A) = 0,4, P(A und R) = 0,1 und insgesamt P(R) = 0,4.
c) Die Marketingabteilung folgert: „Wer per App bestellt, schickt seltener zurück. Wenn wir alle Kunden in die App holen, sinken die Rücksendungen auf 25 %.“ Nimm Stellung.
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a) PA(R) = 0,1 : 0,4 = 0,25
b) P(A) = 0,6; P(A und R) = 0,4 − 0,1 = 0,3; PA(R) = 0,3 : 0,6 = 0,5
c) Richtig ist nur der erste Teil: Die Merkmale sind abhängig, denn 0,25 ≠ 0,5 — App-Kunden schicken tatsächlich seltener zurück. Daraus folgt aber nicht, dass die App die Ursache ist. Denkbar ist ein Drittmerkmal: Die App nutzen vor allem Stammkunden, die ihre Größen und die Marke schon kennen und deshalb seltener zurückschicken. Holt man Neukunden in die App, ändert sich an deren Unsicherheit nichts. Die Prognose „25 % für alle“ ist daher nicht begründet.
Ein Glücksrad hat einen Sektor „Treffer“ (T), dessen Wahrscheinlichkeit p unbekannt ist. Das Rad wird zweimal gedreht. Man weiß: Mit der Wahrscheinlichkeit 0,64 gibt es mindestens einen Treffer.
Lukas rechnet anders: „Mindestens ein Treffer heißt: Treffer beim 1. oder beim 2. Mal, also p + p = 2p.“
c) Erkläre allgemein, welchen Pfad Lukas doppelt zählt, und warum seine Formel für p > 0,5 sogar Werte über 1 liefert.
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a) P(zweimal kein T) = (1 − p)² = 1 − 0,64 = 0,36 → 1 − p = 0,6 → p = 0,4
b) Lukas: 2 · 0,4 = 0,8. Richtig: 0,64. Überschätzung: 0,16.
c) „Mindestens ein T“ besteht aus drei Pfaden: T–kein T, kein T–T und T–T. Lukas’ „p beim 1. Mal“ enthält schon T–T, und „p beim 2. Mal“ enthält T–T noch einmal. Der Pfad T–T mit P = p · p wird also doppelt gezählt — genau 0,4 · 0,4 = 0,16. Richtig wäre 2p − p². Für p > 0,5 ist 2p > 1 — eine Wahrscheinlichkeit über 1 ist unmöglich, das entlarvt die Formel sofort.
Ein Freibad führt Statistik: An 50 % der Sommertage scheint die Sonne (S). An sonnigen Tagen kommen mit Wahrscheinlichkeit 0,9 mehr als 1000 Gäste (V = „voll“), an anderen Tagen nur mit 0,3.
c) Die Lokalzeitung schreibt: „An 90 % der vollen Tage schien die Sonne.“ Beurteile die Aussage und erläutere den Denkfehler mit dem umgekehrten Baum (1. Stufe V, 2. Stufe S).
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a) P(V) = 0,5 · 0,9 + 0,5 · 0,3 = 0,45 + 0,15 = 0,6
b) PV(S) = P(S und V) : P(V) = 0,45 : 0,6 = 0,75
c) Die Zeitung vertauscht die Bedingung. 0,9 ist PS(V): „Wenn die Sonne scheint, ist das Bad zu 90 % voll.“ Gefragt ist aber PV(S): „Wenn das Bad voll ist, schien die Sonne.“ Im umgekehrten Baum steht in der 1. Stufe P(V) = 0,6 und P(V) = 0,4, in der 2. Stufe PV(S) = 0,45 : 0,6 = 0,75. Richtig wäre also: „An 75 % der vollen Tage schien die Sonne.“ Ein Viertel der vollen Tage kommt von den nicht sonnigen Tagen, weil es davon genauso viele gibt.
Ein Saatgut-Hersteller verspricht: 90 % der Samen keimen. Gärtnerei A sät 100 Samen, davon keimen 82. Gärtnerei B sät 400 Samen, davon keimen 328.
c) A sagt: „Das passt noch zur Angabe.“ B sagt: „Die Angabe stimmt vermutlich nicht.“ Beurteile, wie beide bei gleichem Anteil zu verschiedenen Urteilen kommen können — und ob B damit etwas bewiesen hat.
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a) h = 328 : 400 = 0,82 (bei A ebenfalls 82 : 100 = 0,82)
b) 1/√400 = 1/20 = 0,05
c) Beide haben denselben Abstand |0,82 − 0,9| = 0,08. Bei A (n = 100) liegt er unter der Grenze 0,1 — solche Abweichungen treten bei 100 Samen durch Zufall häufig auf, A hat also keinen Grund zu zweifeln. Bei B (n = 400) schwankt h deutlich weniger; die Grenze ist nur 0,05, und 0,08 liegt darüber. Eine so große Abweichung wäre bei stimmender Angabe selten, deshalb ist Bs Zweifel berechtigt. Bewiesen ist aber nichts: Die Faustregel gilt nur „meistens“, und relative Häufigkeiten sind Schätzwerte. B hat einen starken Hinweis, keinen Beweis.
Eine Kamera-Anlage sortiert Äpfel mit Druckstellen aus. 10 % der Äpfel haben Druckstellen. Die Anlage sortiert 90 % der beschädigten Äpfel aus — aber auch 10 % der einwandfreien.
c) Der Hersteller wirbt: „Unsere Anlage arbeitet zu 90 % zuverlässig — also sind 90 % der aussortierten Äpfel beschädigt.“ Widerlege die Werbeaussage und erkläre, warum die Anlage bei guter Ernte schlechter „aussieht“, obwohl sie gleich arbeitet.
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a) Von 10 000 Äpfeln: 1000 beschädigt, davon 900 aussortiert; 9000 einwandfrei, davon 900 aussortiert. P = 900 : 1800 = 0,5.
b) 100 beschädigt → 90 raus; 9900 einwandfrei → 990 raus. P = 90 : 1080 = 1/12 ≈ 0,08.
c) Die 90 % beschreiben, wie oft die Anlage einen beschädigten Apfel erkennt (PD(A) mit D = Druckstelle, A = aussortiert). Die Werbung behauptet aber etwas über PA(D) — das ist die umgekehrte Bedingung. Weil einwandfreie Äpfel in der Überzahl sind, erzeugen schon 10 % Fehlalarme genauso viele aussortierte Äpfel wie die echten Treffer (a: 900 zu 900). Je seltener Druckstellen sind (b: 1 %), desto stärker überwiegen die Fehlalarme — nur noch etwa jeder zwölfte aussortierte Apfel ist beschädigt. Die Anlage arbeitet gleich, aber die Basisrate hat sich geändert.
In mehreren Grundschulen wurden 600 Kinder untersucht: G = „Schuhgröße 35 oder größer“, L = „liest flüssig“.
c) Jemand folgert: „Große Füße machen gute Leser.“ Nimm Stellung und nenne ein Drittmerkmal. d) Entwickle einen Vorschlag, wie man mit Vierfeldertafeln prüfen könnte, ob dein Drittmerkmal den Zusammenhang erklärt.
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a) PG(L) = 180 : 200 = 0,9
b) PG(L) = 220 : 400 = 0,55
c) Die Merkmale sind abhängig (0,9 ≠ 0,55), aber ein Zusammenhang ist keine Ursache. Das Drittmerkmal ist das Alter bzw. die Klassenstufe: Ältere Kinder haben größere Füße und hatten mehr Zeit, lesen zu lernen. Die Füße bewirken nichts am Lesen.
d) Man teilt die Kinder nach Klassenstufe auf und erstellt für jede Stufe eine eigene Vierfeldertafel G/L. Sind innerhalb einer Stufe PG(L) und PG(L) ungefähr gleich, erklärt das Alter den Zusammenhang vollständig. Wegen der Variabilität kleiner Gruppen sollte man dabei nur deutliche Unterschiede ernst nehmen.
In einer Bäckerei gilt für einen zufällig gewählten Kunden: B = „kauft Brötchen“ mit P(B) = 0,3, K = „zahlt mit Karte“ mit P(K) = 0,6 und P(B und K) = 0,18.
Entscheide für jede Aussage, ob sie stimmt, und begründe jeweils in einem Satz:
(1) „B und K sind unabhängig.“
(2) „Unabhängig heißt: Wer Brötchen kauft, zahlt nie mit Karte.“
(3) „Dann ist auch PK(B) = 0,3.“
(4) „Also zahlen von 50 Brötchenkäufern genau 30 mit Karte.“
Achtung, Trickaufgabe: Zwei der vier Aussagen klingen plausibel, sind aber falsch.
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(1) stimmt. PB(K) = 0,18 : 0,3 = 0,6 und PB(K) = (0,6 − 0,18) : 0,7 = 0,42 : 0,7 = 0,6. Beide Äste sind gleich — die Merkmale sind unabhängig.
(2) falsch. Das beschreibt „unvereinbar“: P(B und K) wäre 0. Hier zahlen sogar 60 % der Brötchenkäufer mit Karte. Unvereinbare Ereignisse sind im Gegenteil stark abhängig: Weiß man B, ist K ausgeschlossen.
(3) stimmt. PK(B) = 0,18 : 0,6 = 0,3 = P(B). Unabhängigkeit gilt in beide Richtungen.
(4) falsch. 0,6 ist eine Wahrscheinlichkeit, keine Garantie. In einer Stichprobe von 50 Kunden schwankt die Anzahl zufällig um 30 herum (Faustregel: Abweichungen der relativen Häufigkeit bis etwa 1/√50 ≈ 0,14 sind normal).
Reflexion — was hast du mitgenommen?
AFB III bedeutet: nicht nur rechnen, sondern Ergebnisse beurteilen. Du hast geübt:
- Anteile statt Anzahlen — Gruppen verschiedener Größe vergleicht man über relative Häufigkeiten.
- Rückwärts rechnen — fehlende Felder, Äste und sogar p aus einer Gesamtwahrscheinlichkeit bestimmen.
- Bedingung richtig herum lesen — PS(V) ist nicht PV(S); der umgekehrte Baum klärt das.
- Basisrate beachten — bei seltenen Merkmalen sind viele „Treffer“ Fehlalarme.
- Variabilität einschätzen — ob eine Abweichung auffällig ist, hängt von n ab.
- Zusammenhang ≠ Ursache — abhängige Merkmale können ein Drittmerkmal als gemeinsamen Grund haben; unabhängig ist nicht dasselbe wie unvereinbar.
In der Klausur zählt bei „Beurteile“ und „Nimm Stellung“ die Begründung mit Zahlen: Nenne die passende bedingte Wahrscheinlichkeit, vergleiche und formuliere einen klaren Antwortsatz.