Rückschlüsse aus Baumdiagrammen: Probe-Klassenarbeit – Mathe Klasse 9

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AFB I

Wissen und Reproduzieren

27 Punkte

Vierfeldertafel ergänzen

AFB I 6 Punkte

In einer Umfrage wurden 400 Schülerinnen und Schüler befragt: Liest du regelmäßig Bücher (L)? Hast du ein Streaming-Abo (S)? Gib die Anzahlen und am Ende zwei relative Häufigkeiten als Dezimalzahl an.

Anzahlen · Lücken a) bis d)
	S	S	Summe
L	96	a)	160
L	144	c)	b)
Summe	d)	·	400

a) Anzahl „L und S“ 1 P

Anzahl =

b) Anzahl L (Summe der Zeile) 1 P

Anzahl =

c) Anzahl „L und S“ 1 P

Anzahl =

d) Anzahl S (Summe der Spalte) 1 P

Anzahl =

e) relative Häufigkeit h(L und S) 1 P

h =

f) relative Häufigkeit h(S) 1 P

h =

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) 160 − 96 = 64

b) 400 − 160 = 240

c) 240 − 144 = 96

d) 96 + 144 = 240

e) h = ⁹⁶⁄₄₀₀ = 0,24

f) Anzahl S = 400 − 240 = 160 (oder 64 + 96), also h = ¹⁶⁰⁄₄₀₀ = 0,4

Pfadregeln anwenden

AFB I 5 Punkte

In einem Beutel liegen 4 grüne und 6 weiße Kugeln. Es wird zweimal eine Kugel gezogen, mit Zurücklegen. Gib die Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl an.

a) P(grün, grün) 1 P

P =

b) P(weiß, weiß) 1 P

P =

c) P(beide Kugeln haben dieselbe Farbe) 1 P

P =

d) P(genau eine grüne Kugel) 1 P

P =

e) P(mindestens eine grüne Kugel) 1 P

P =

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Auf beiden Stufen gilt P(grün) = 0,4 und P(weiß) = 0,6, weil zurückgelegt wird.

a) Produktregel: 0,4 · 0,4 = 0,16

b) 0,6 · 0,6 = 0,36

c) Summenregel über zwei Pfade: 0,16 + 0,36 = 0,52

d) Pfade (grün, weiß) und (weiß, grün): 0,24 + 0,24 = 0,48

e) Gegenereignis „keine grüne“: 1 − 0,36 = 0,64

Baumdiagramm vervollständigen

AFB I 4 Punkte

Das Baumdiagramm rechts ist unvollständig. Ergänze die markierten Äste mit der Knotenregel und berechne eine Pfadwahrscheinlichkeit.

a) Ast (1): P(A) 1 P

P =

b) Ast (2): P_A(B) 1 P

P =

c) Ast (3): P_A(B) 1 P

P =

d) P(A und B) 1 P

P =

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Knotenregel: Die Äste an jedem Verzweigungspunkt ergeben zusammen 1.

a) 1 − 0,3 = 0,7

b) 1 − 0,8 = 0,2

c) 1 − 0,4 = 0,6

d) Produktregel entlang des Pfades: 0,3 · 0,8 = 0,24

Unvollständiges Baumdiagramm

Schreibweisen zuordnen

AFB I 4 Punkte

Ordne jeder Schreibweise ihre Bedeutung zu. Achtung: Es stehen mehr Bedeutungen zur Auswahl, als du brauchst.

Was bedeutet die Schreibweise? 4 P

P(A und B)

P_A(B)

P(A)

P(A) + P(A)

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

P(A und B) → A und B treten beide ein · P_A(B) → B tritt ein, wenn A schon eingetreten ist

P(A) → A tritt nicht ein (Gegenereignis) · P(A) + P(A) → ergibt immer 1

Nicht gebraucht: „A tritt ein, wenn B schon eingetreten ist“ wäre P_B(A) — das ist etwas anderes als P_A(B).

Aussagen zur Vierfeldertafel

AFB I 4 Punkte

Eine Vierfeldertafel ordnet Daten nach zwei Merkmalen mit je zwei Ausprägungen.

Welche Aussagen über Vierfeldertafeln stimmen? (mehrere Antworten richtig) 4 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Richtig: Die vier inneren Felder ergeben die Gesamtzahl; jede Randsumme ist eine Zeilen- oder Spaltensumme; die beiden Randsummen eines Merkmals (z. B. A und nicht A) ergeben ebenfalls die Gesamtzahl.

Falsch: Bei relativen Häufigkeiten ergeben die inneren Felder zusammen 1, nicht 2. Die Felder einer Zeile können beliebig verschieden sein. Und eine Vierfeldertafel zeigt immer zwei Merkmale.

Ziehen ohne Zurücklegen

AFB I 4 Punkte

In einer Dose liegen 5 rote und 3 gelbe Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen, ohne Zurücklegen.

a) Welche Wahrscheinlichkeit steht auf dem Ast „rot“ der 2. Stufe, wenn zuerst Rot gezogen wurde? 2 P

b) Wie groß ist P(rot, rot)? 2 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) Nach dem ersten Zug liegen nur noch 7 Kugeln in der Dose, davon 4 rote: ⁴⁄₇.

b) Produktregel: ⁵⁄₈ · ⁴⁄₇ = ²⁰⁄₅₆ = ⁵⁄₁₄

²⁵⁄₆₄ wäre das Ergebnis mit Zurücklegen — der typische Fehler, den Nenner nicht zu verkleinern.

AFB II

Anwenden und Übertragen

43 Punkte

Vom Baum zur Vierfeldertafel

AFB II 8 Punkte

Beim Schulfest kommen 500 Gäste. 60 % sind Erwachsene (E), die übrigen Kinder und Jugendliche (E). Von den Erwachsenen kaufen 25 % ein Stück Kuchen (K), von den Kindern und Jugendlichen 70 %. Übertrage den Baum gedanklich in eine Vierfeldertafel.

a) P(E und K) 1 P

P =

b) P(E und K) 1 P

P =

c) P(K) — Randsumme der Spalte K 2 P

P =

d) Anzahl der Gäste in E und K 2 P

Anzahl =

e) Anzahl der Gäste, die keinen Kuchen kaufen 2 P

Anzahl =

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Pfade = innere Felder der Tafel.

a) 0,6 · 0,25 = 0,15

b) 0,4 · 0,7 = 0,28

c) Die Randsumme von K ist die Summe zweier Pfade: 0,15 + 0,28 = 0,43

d) P(E und K) = 0,4 · 0,3 = 0,12; 0,12 · 500 = 60

e) P(K) = 1 − 0,43 = 0,57; 0,57 · 500 = 285 (Kontrolle: 225 Erwachsene + 60 Kinder)

Baumdiagramm Schulfest

Von der Tafel zum umgekehrten Baum

AFB II 7 Punkte

Beim Sportfest wurden alle 250 Teilnehmenden erfasst: Gehören sie zur Unterstufe (U)? Laufen sie in der Staffel mit (L)?

Anzahlen
	L	L	Summe
U	60	30	90
U	40	120	160
Summe	100	150	250

Erstelle aus der Tafel den umgekehrten Baum, der auf der 1. Stufe mit L und L beginnt. Gib die Astwahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl an.

a) Ast P(L) 1 P

P =

b) Ast P(L) 1 P

P =

c) Ast P_L(U) 2 P

P =

d) Ast P_L(U) 2 P

P =

e) Ast P_L(U) 1 P

P =

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

1. Stufe = Randsummen des zuerst stehenden Merkmals L; 2. Stufe = inneres Feld : Randsumme davor.

a) ¹⁰⁰⁄₂₅₀ = 0,4 · b) ¹⁵⁰⁄₂₅₀ = 0,6

c) P_L(U) = ⁶⁰⁄₁₀₀ = 0,6

d) P_L(U) = ³⁰⁄₁₅₀ = 0,2

e) ¹²⁰⁄₁₅₀ = 0,8 (Knotenregel: 1 − 0,2)

Unbekannten Ast bestimmen

AFB II 6 Punkte

Ein Online-Shop verschickt 40 % seiner Pakete per Express (E), den Rest als Standardversand. Express-Pakete kommen mit Wahrscheinlichkeit 0,95 rechtzeitig an (R). Insgesamt kommen 83 % aller Pakete rechtzeitig an. Wie zuverlässig ist der Standardversand?

a) P(E und R) 2 P

P =

b) P(E und R) 2 P

P =

c) Fehlender Ast P_E(R) 2 P

P =

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) Produktregel: 0,4 · 0,95 = 0,38

b) P(R) ist die Summe der beiden R-Pfade: 0,83 − 0,38 = 0,45

c) Ast aus Pfad: P_E(R) = ^{P(E und R)}⁄_P(E) = ^0,45⁄_0,6 = 0,75

Kontrolle: 0,38 + 0,6 · 0,75 = 0,38 + 0,45 = 0,83 ✓

Baum mit unbekanntem Ast

A10

Müsliriegel ohne Zurücklegen

AFB II 6 Punkte

In einer Schale liegen 5 Müsliriegel, 2 davon mit Nüssen (N). Lina nimmt nacheinander zwei Riegel heraus, ohne Zurücklegen. Gib die Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl an.

a) P(beide Riegel mit Nüssen) 2 P

P =

b) P(genau ein Riegel mit Nüssen) 2 P

P =

c) P(mindestens ein Riegel mit Nüssen) 2 P

P =

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Stufe 1: P(N) = ²⁄₅, P(N) = ³⁄₅. Auf Stufe 2 liegen nur noch 4 Riegel in der Schale.

a) ²⁄₅ · ¹⁄₄ = ²⁄₂₀ = 0,1

b) (N, N) + (N, N) = ²⁄₅ · ³⁄₄ + ³⁄₅ · ²⁄₄ = ⁶⁄₂₀ + ⁶⁄₂₀ = 0,6

c) Gegenereignis „kein Nussriegel“: ³⁄₅ · ²⁄₄ = ⁶⁄₂₀ = 0,3, also 1 − 0,3 = 0,7 (oder 0,1 + 0,6)

A11

Tafel mit Anteilen

AFB II 5 Punkte

In einem Fitnessstudio wurde erfasst, wer morgens trainiert (M) und wer die Trainings-App nutzt (A). Die Tafel enthält relative Häufigkeiten.

Anteile · Lücken a) bis c)
	A	A	Summe
M	0,21	a)	0,35
M	b)	c)	0,65
Summe	0,42	0,58	1

a) P(M und A) 1 P

P =

b) P(M und A) 1 P

P =

c) P(M und A) 1 P

P =

d) P_M(A): Anteil der App-Nutzer unter den Morgen-Trainierenden 1 P

P =

e) P_A(M): Anteil der Morgen-Trainierenden unter den App-Nutzern 1 P

P =

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) 0,35 − 0,21 = 0,14 · b) 0,42 − 0,21 = 0,21 · c) 0,65 − 0,21 = 0,44 (Kontrolle: 0,58 − 0,14 = 0,44)

d) P_M(A) = ^0,21⁄_0,35 = 0,6

e) P_A(M) = ^0,21⁄_0,42 = 0,5

Gleicher Zähler, anderer Nenner: P_M(A) und P_A(M) sind verschiedene Wahrscheinlichkeiten.

A12

Glücksrad zweimal drehen

AFB II 6 Punkte

Das Glücksrad rechts wird zweimal gedreht. Die Felder haben die Wahrscheinlichkeiten Rot 0,5, Blau 0,3 und Grün 0,2.

a) P(zweimal dieselbe Farbe) 2 P

P =

b) P(erst Rot, dann Blau) 2 P

P =

c) P(mindestens einmal Grün) 2 P

P =

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) Drei Pfade: 0,5 · 0,5 + 0,3 · 0,3 + 0,2 · 0,2 = 0,25 + 0,09 + 0,04 = 0,38

b) Ein Pfad, Reihenfolge fest: 0,5 · 0,3 = 0,15

c) Gegenereignis „nie Grün“: 0,8 · 0,8 = 0,64, also 1 − 0,64 = 0,36

Glücksrad mit drei Feldern

A13

Wie genau ist eine Umfrage?

AFB II 5 Punkte

Bei einer Umfrage unter n = 400 zufällig ausgewählten Jugendlichen geben 120 an, täglich Musik zu streamen. Nutze die Faustregel |h − p| < ¹⁄_√n.

a) relative Häufigkeit h 1 P

h =

b) Schranke ¹⁄_√n 1 P

Schranke =

c) Untere Grenze des Bereichs, in dem der wahre Anteil p meistens liegt 1 P

p_min =

d) Obere Grenze dieses Bereichs 1 P

p_max =

e) Wie viele Personen müsste man befragen, damit die Schranke nur noch 0,025 beträgt? 1 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) h = ¹²⁰⁄₄₀₀ = 0,3

b) ¹⁄_√400 = ¹⁄₂₀ = 0,05

c) 0,3 − 0,05 = 0,25 · d) 0,3 + 0,05 = 0,35

e) ¹⁄_√n = 0,025 ⇒ √n = 40 ⇒ n = 1600. Halbe Schranke braucht den vierfachen Stichprobenumfang.

AFB III

Verknüpfen und Beurteilen

30 Punkte

A14

Rückschluss: Akku-Prüfgerät

AFB III 8 Punkte

Ein Prüfgerät kontrolliert Handy-Akkus. 2 % aller Akkus sind defekt (D). Das Gerät schlägt bei 98 % der defekten Akkus Alarm, aber auch bei 6 % der intakten Akkus (Fehlalarm). Denke dir 10 000 Akkus (natürliche Häufigkeiten).

a) Wie viele Akkus sind defekt und lösen Alarm aus? 2 P

Anzahl =

b) Wie viele Akkus lösen einen Fehlalarm aus? 2 P

Anzahl =

c) Ein Akku löst Alarm aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er wirklich defekt? P_Alarm(D) als Dezimalzahl 2 P

P =

d) Beurteile das Ergebnis. 2 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) Defekt: 2 % von 10 000 = 200. Davon mit Alarm: 98 % von 200 = 196

b) Intakt: 9800. Davon Fehlalarm: 6 % von 9800 = 588

c) Alarme insgesamt: 196 + 588 = 784. P_Alarm(D) = ¹⁹⁶⁄₇₈₄ = 0,25

d) Die 98 % beschreiben P_D(Alarm), gefragt ist aber P_Alarm(D). Weil defekte Akkus selten sind (Basisrate 2 %), stammen drei von vier Alarmen von intakten Akkus. Das Gerät ist trotzdem nützlich: Nach einem Alarm prüft man genauer nach.

A15

Hängen die Merkmale zusammen?

AFB III 6 Punkte

In einer Jahrgangsstufe wurde erhoben, wer eine Brille trägt (B) und für wen Mathematik das Lieblingsfach ist (M).

Anzahlen
	M	M	Summe
B	24	56	80
B	36	84	120
Summe	60	140	200

a) P_B(M) 2 P

P =

b) P_B(M) 2 P

P =

c) Welche Folgerung ist richtig? 2 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) P_B(M) = ²⁴⁄₈₀ = 0,3 · b) P_B(M) = ³⁶⁄₁₂₀ = 0,3

c) Beide Anteile sind gleich, also sind B und M unabhängig. Die absoluten Zahlen 24 und 36 darf man nicht direkt vergleichen, weil die Gruppen verschieden groß sind (80 und 120). Man rechnet in Anteile um — das geht mit jeder Tafel.

A16

Zusammenhang oder Ursache?

AFB III 5 Punkte

Eine Befragung von Jugendlichen zwischen 13 und 18 Jahren ergibt: Von denen mit eigenem Smartphone (S) haben 30 % einen Nebenjob (J), von denen ohne eigenes Smartphone nur 10 %. Also gilt P_S(J) = 0,3 und P_S(J) = 0,1.

Welche Aussagen sind richtig? (mehrere Antworten richtig) 5 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Richtig: Die Anteile 0,3 und 0,1 sind verschieden, also besteht ein Zusammenhang. Ein Drittmerkmal (Alter) kann ihn erklären. Ursachen lassen sich aus einer Tafel nicht ablesen.

Falsch: Zusammenhang ist nicht gleich Ursache. 0,3 ist P_S(J), nicht P_J(S) — die Bedingung wurde vertauscht. Unabhängig hieße P_S(J) = P_S(J), nicht „= 0“.

A17

Stimmt die Herstellerangabe?

AFB III 6 Punkte

Ein Hersteller von Sammelkarten gibt an: In jeder fünften Tüte steckt eine Glitzerkarte, also p = 0,2. Zwei Stichproben: Lukas öffnet 100 Tüten und findet 13 Glitzerkarten. Ein Verbrauchermagazin öffnet 2500 Tüten und findet 425.

a) relative Häufigkeit h₁ bei Lukas 1 P

h₁ =

b) Schranke ¹⁄_√n für Lukas 1 P

Schranke =

c) relative Häufigkeit h₂ beim Magazin 1 P

h₂ =

d) Schranke ¹⁄_√n für das Magazin 1 P

Schranke =

e) Beurteile die Angabe des Herstellers. 2 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) ¹³⁄₁₀₀ = 0,13 · b) ¹⁄_√100 = 0,1

c) ⁴²⁵⁄₂₅₀₀ = 0,17 · d) ¹⁄_√2500 = ¹⁄₅₀ = 0,02

e) Lukas: |0,13 − 0,2| = 0,07 < 0,1 — eine solche Abweichung ist bei 100 Tüten normale Schwankung. Magazin: |0,17 − 0,2| = 0,03 > 0,02 — bei 2500 Tüten ist das zu viel. Nur die große Stichprobe spricht deutlich gegen p = 0,2. Die Faustregel gilt „meistens“, ein Beweis ist das also nicht.

A18

Fehler finden

AFB III 5 Punkte

Jonas hat sich einen Spickzettel geschrieben. Leider haben sich Fehler eingeschlichen. Kreuze nur die falschen Zeilen an.

Welche Zeilen sind falsch? (mehrere Antworten richtig) 5 P

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

Falsch:

• P_A(B) = P(A und B) · P(A) — richtig ist die Division: P_A(B) = ^{P(A und B)}⁄_P(A)

• P_A(B) = P_B(A) — im Allgemeinen falsch, die Nenner sind verschieden (siehe A11: 0,6 und 0,5).

• Ohne Zurücklegen fehlt auf der 2. Stufe eine Kugel: Der Nenner wird um 1 kleiner.

Richtig sind das Gegenereignis, die Knotenregel und die Summe aller Pfade = 1.

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Alle 18 Aufgaben werden automatisch ausgewertet. Bei Aufgaben mit mehreren richtigen Antworten zählt jede richtige Angabe, jede falsch angekreuzte zieht wieder ab.

Notenschema

Punkte	Note	Beurteilung
100 – 92 P	1	sehr gut
91 – 80 P	2	gut
79 – 60 P	3	befriedigend
59 – 44 P	4	ausreichend
43 – 24 P	5	mangelhaft
23 – 0 P	6	ungenügend