MINT lernen

Pfadregeln anwenden

Umsteigen und Glückskekse: Zwei Aufgaben, in denen Produkt- und Summenregel zusammenarbeiten.

1

Der Busanschluss

AFB I–II

Tim fährt morgens erst mit der Straßenbahn und steigt dann in einen Bus um. Die Straßenbahn ist mit der Wahrscheinlichkeit 0,85 pünktlich (\(S\)). Ist sie pünktlich, erreicht Tim den Bus mit 0,95 (\(B\)). Ist sie verspätet, erreicht er ihn nur mit 0,3.

  1. Zeichnen Sie ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm und geben Sie alle Pfadwahrscheinlichkeiten an.
  2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Tim den Bus erreicht.
  3. Erläutern Sie, warum man \(P(B)\) nicht als \(0{,}95+0{,}3\) berechnen darf.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Knotenregel für die fehlenden Äste, Produktregel für die Pfade.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zwei Pfade enden in \(B\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Was bedeuten 0,95 und 0,3 — und worauf beziehen sie sich?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Lösung
0,85S0,95B0,80750,05B0,04250,15S0,3B0,0450,7B0,105
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(B)=0{,}85\cdot0{,}95+0{,}15\cdot0{,}3=0{,}8075+0{,}045=0{,}8525\approx85\,\%\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

0,95 und 0,3 sind Äste der 2. Stufe an verschiedenen Knoten; sie gelten nur, wenn die Straßenbahn pünktlich bzw. verspätet war. Sie müssen erst mit der Wahrscheinlichkeit ihres Knotens multipliziert werden. Die Summe 1,25 wäre außerdem größer als 1.

2

Der Glückskeks-Stand

AFB II–III

Auf dem Schulfest verkauft die Klasse 9b Glückskekse. In einem Korb liegen 20 Kekse, in 5 davon steckt ein Gutschein für ein Getränk. Lina kauft zwei Kekse und öffnet sie nacheinander.

  1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Lina genau einen Gutschein bekommt.
  2. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Lina mindestens einen Gutschein bekommt.
  3. Beurteilen Sie die Werbung am Stand: „Kauf zwei Kekse — dann ist die Chance auf einen Gutschein doppelt so hoch!“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Ohne Zurücklegen: Nach dem ersten Keks sind noch 19 im Korb.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gegenereignis: kein Gutschein.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleichen Sie mit \(P(\text{Gutschein beim Kauf eines Kekses})=0{,}25\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(G,\overline{G})+P(\overline{G},G)=\frac{5}{20}\cdot\frac{15}{19}+\frac{15}{20}\cdot\frac{5}{19}=\frac{150}{380}\approx0{,}395\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(1-\frac{15}{20}\cdot\frac{14}{19}=1-\frac{210}{380}\approx1-0{,}553=0{,}447\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mit einem Keks beträgt die Chance \(0{,}25\), mit zwei Keksen auf mindestens einen Gutschein etwa \(0{,}447\). Das ist deutlich mehr, aber nicht doppelt so viel (\(0{,}5\)), weil beide Kekse zugleich einen Gutschein enthalten können und dieser Fall nur einmal zählt. Die Werbung übertreibt leicht.