Frühsport und Konzentration
AFB I–IIAn einer Schule wurde erhoben, wer morgens vor der Schule Sport treibt (\(S\)) und wer sich in der ersten Stunde gut konzentrieren kann (\(K\)):
| Anzahlen | \(K\) | \(\overline{K}\) | Summe |
|---|---|---|---|
| \(S\) | 48 | 12 | 60 |
| \(\overline{S}\) | 126 | 114 | 240 |
| Summe | 174 | 126 | 300 |
- Berechnen Sie \(P_S(K)\) und \(P_{\overline{S}}(K)\).
- Begründen Sie, ob die Merkmale \(S\) und \(K\) abhängig sind.
- Nehmen Sie Stellung zur Schlagzeile „Frühsport macht konzentriert!“.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P_S(K)=\frac{48}{60}=0{,}8\); \(P_{\overline{S}}(K)=\frac{126}{240}=0{,}525\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(0{,}8\ne0{,}525\). Die Merkmale sind abhängig: Wer Frühsport treibt, kann sich in dieser Umfrage deutlich häufiger gut konzentrieren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Daten zeigen nur einen Zusammenhang, keine Ursache. Denkbar ist ein drittes Merkmal: Wer früh Sport treibt, geht vielleicht auch früher schlafen und ist deshalb ausgeruhter. Für die Schlagzeile wäre ein Experiment nötig, z. B. dieselben Personen mit und ohne Frühsport vergleichen.
Der Rauchmelder-Test
AFB II–IIIEin Hersteller testet einen neuen Rauchmelder in einem Labor. In 2 % der Testsituationen ist tatsächlich Rauch vorhanden (\(R\)). Der Melder schlägt bei Rauch in 98 % der Fälle an (\(A\)), ohne Rauch (z. B. bei Wasserdampf) in 4 % der Fälle.
- Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Alarm tatsächlich Rauch vorhanden ist.
- Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
- Bewerten Sie den Vorschlag, den Melder so einzustellen, dass er seltener anschlägt, damit es weniger Fehlalarme gibt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
10 000 Situationen: 200 mit Rauch, davon 196 Alarme; 9800 ohne Rauch, davon 392 Alarme. \(P_A(R)=\frac{196}{588}=\frac13\approx0{,}33\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Nur etwa jeder dritte Alarm im Labor geht auf echten Rauch zurück, zwei von drei Alarmen sind Fehlalarme. Das liegt daran, dass Situationen ohne Rauch viel häufiger sind.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Weniger Fehlalarme wären angenehm, aber ein empfindlicherer Filter würde auch echte Brände häufiger übersehen. Ein übersehener Brand ist gefährlich, ein Fehlalarm nur lästig. Deshalb sollte die Erkennungsrate bei Rauch hoch bleiben; Fehlalarme sind der Preis für die Sicherheit. Sinnvoller ist es, Fehlalarm-Ursachen wie Wasserdampf gezielt zu verringern.