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Baumdiagramme vervollständigen

Theaterkarten und Fahrradcheck: Zwei Aufgaben, in denen aus wenigen Angaben ein ganzer Baum wird.

1

Die Theaterpremiere

AFB I–II

Die Theater-AG verkauft Karten für ihre Premiere. 60 % der Karten werden online bestellt (\(O\)), der Rest an der Abendkasse. Von den Online-Kunden kommen 95 % tatsächlich (\(K\)), von den Abendkasse-Kunden alle.

Baumdiagramm (unvollständig)
0,6O0,95K?K?O?K?K
  1. Geben Sie die fehlenden Äste des Baumdiagramms an.
  2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine verkaufte Karte ungenutzt bleibt.
  3. Erklären Sie, warum an einem Ast auch die Wahrscheinlichkeit 0 stehen darf.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Knotenregel an jedem Knoten; „alle kommen“ bedeutet Wahrscheinlichkeit 1.
Hinweis zu Aufgabe b)
Welche Pfade enden in \(\overline{K}\)?
Hinweis zu Aufgabe c)
Was bedeutet ein Ergebnis, das nicht eintreten kann?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(\overline{O})=0{,}4\); \(P_O(\overline{K})=0{,}05\); \(P_{\overline{O}}(K)=1\); \(P_{\overline{O}}(\overline{K})=0\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(\overline{K})=0{,}6\cdot0{,}05+0{,}4\cdot0=0{,}03\), also 3 %.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Knotenregel verlangt nur, dass die Äste zusammen 1 ergeben. Kommt jeder Abendkasse-Kunde sicher, ist \(P_{\overline{O}}(K)=1\) und der Nachbarast \(0\). Man kann ihn auch weglassen; mit 0 bleibt der Baum vollständig.

2

Der Fahrradcheck

AFB II–III

Beim Fahrradcheck der Verkehrswacht werden zwei Dinge geprüft: Licht (\(L\) = Licht in Ordnung) und Bremsen (\(B\) = Bremsen in Ordnung). Aus dem Protokoll sind nur diese Angaben erhalten: Bei 80 % der Räder war das Licht in Ordnung. 64 % aller Räder hatten Licht und Bremsen in Ordnung. 5 % aller Räder hatten weder Licht noch Bremsen in Ordnung.

  1. Ermitteln Sie alle Äste des Baumdiagramms mit \(L\) auf der ersten Stufe.
  2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Rad genau eines der beiden Teile nicht in Ordnung ist.
  3. Nehmen Sie Stellung zur Aussage: „Bei Rädern mit kaputtem Licht sind die Bremsen genauso oft in Ordnung wie bei allen anderen.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Pfad durch den Ast der 1. Stufe teilen ergibt den Ast der 2. Stufe.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zwei Pfade: \(L\) und \(\overline{B}\) sowie \(\overline{L}\) und \(B\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleichen Sie \(P_L(B)\) mit \(P_{\overline{L}}(B)\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(L)=0{,}8\), \(P(\overline{L})=0{,}2\). \(P_L(B)=\frac{0{,}64}{0{,}8}=0{,}8\), \(P_L(\overline{B})=0{,}2\). \(P_{\overline{L}}(\overline{B})=\frac{0{,}05}{0{,}2}=0{,}25\), \(P_{\overline{L}}(B)=0{,}75\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0{,}8\cdot0{,}2+0{,}2\cdot0{,}75=0{,}16+0{,}15=0{,}31\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage stimmt nicht: Mit gutem Licht sind die Bremsen in \(80\,\%\) der Fälle in Ordnung, mit kaputtem Licht nur in \(75\,\%\). Der Unterschied ist allerdings klein; bei einer kleinen Zahl geprüfter Räder könnte er auch zufällig sein.