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Zusammenfassung

Das ganze Kapitel auf einer Seite: ein Streckfaktor, zwei Strahlensätze — und die Frage, wann man k, k² oder k³ braucht.

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Ähnlichkeit und zentrische Streckung

Ähnliche Figuren haben dieselbe Form und unterscheiden sich nur in der Größe. Die zentrische Streckung stellt solche Figuren her.

Ähnliche Figuren

Entsprechende Winkel sind gleich, alle Längen haben dasselbe Verhältnis. Drehen oder Spiegeln stört nicht; „überall 2 cm dazu“ zerstört die Ähnlichkeit.

α′ = α · a′a = b′b = k

Streckfaktor k

Bildlänge durch Originallänge. k > 1 vergrößert, 0 < k < 1 verkleinert, k = 1 heißt kongruent. Stolperstein: den Bruch umdrehen.

k = BildlängeOriginallänge

Zentrische Streckung

Jeder Punkt wandert auf dem Strahl von Z aus. Bildstrecken sind parallel zur Originalstrecke und k-mal so lang, Z bleibt fest.

ZP′ = k · ZP

Flächen und Volumen

Zwei Richtungen wachsen bei Flächen, drei bei Körpern. Aus einem Flächenverhältnis erhält man k mit der Wurzel.

A′ = k² · A · V′ = k³ · V
Streckfaktor bei ähnlichen Figuren
k = a′a
Umgestellt: a′ = k · a und a = a′ : k. Längen und Umfänge wachsen mit k, Flächen mit k², Volumen mit k³.

Warum Flächen mit k² wachsen

Streckt man ein Dreieck mit k = 3, passt das Original genau 3 · 3 = 9-mal hinein. Länge und Breite wachsen beide — bei der Fläche kommt der Faktor also zweimal vor.

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Ähnliche Dreiecke

Bei Dreiecken genügt weniger: Zwei gleiche Winkel legen die Form fest. Daraus entstehen Beweise, etwa für Kathetensatz und Höhensatz.

WW — Hauptähnlichkeitssatz

Stimmen zwei Winkel überein, dann wegen der Winkelsumme auch der dritte — die Dreiecke sind ähnlich.

α′ = α und β′ = β

SSS und SWS

Ohne Winkel: alle drei Seitenverhältnisse gleich — oder zwei Verhältnisse gleich und der eingeschlossene Winkel.

a′a = b′b = c′c

Beweis mit Ähnlichkeit

Zwei Dreiecke wählen, zwei gleiche Winkel begründen, WW anwenden, entsprechende Seiten ins Verhältnis setzen, umformen.

Winkel → ähnlich → Verhältnis

Kathetensatz

Im rechtwinkligen Dreieck mit Höhe h auf c: △ABC ∼ △CBF. Daraus folgt direkt der Satz des Pythagoras.

a² = c · p · b² = c · q
Hauptähnlichkeitssatz
α′ = α, β′ = β  ⇒  △A′B′C′ ∼ △ABC
Die Reihenfolge der Ecken zeigt die Zuordnung: A gehört zu A′, B zu B′, C zu C′.

Gleiche Winkel findet man an bekannten Stellen

Scheitelwinkel, Stufen- und Wechselwinkel an Parallelen, ein gemeinsamer Winkel zweier Dreiecke oder ein rechter Winkel liefern fast immer die zwei nötigen Winkel.

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Die Strahlensätze

Zwei Strahlen von Z, geschnitten von zwei Parallelen: Damit lassen sich unzugängliche Längen berechnen — Höhen, Flussbreiten, Strecken in verschachtelten Figuren.

1. Strahlensatz

Abschnitte auf den Strahlen stehen im gleichen Verhältnis. Auch Teilstücke wie AA′ sind erlaubt.

ZA′ZA = ZB′ZB

2. Strahlensatz

Parallelenstücke verhalten sich wie die Abschnitte ab Z — hier nie Teilstücke verwenden.

A′B′AB = ZA′ZA

Umkehrung

Gleiche Verhältnisse auf den Strahlen beweisen die Parallelität. Der 2. Strahlensatz ist nicht umkehrbar.

ZA′ZA = ZB′ZB ⇒ AB ∥ A′B′

Anwendungen

Schattenmethode, Försterdreieck, Flussbreite; mehrstufig: erst eine Teilfigur für ein Zwischenergebnis, dann die nächste.

h = s · Tt
Strahlensätze (V- und X-Figur)
ZA′ZA = ZB′ZB = A′B′AB
Alle drei Verhältnisse sind der Streckfaktor k der zentrischen Streckung an Z, die AB auf A′B′ abbildet.

Ohne Parallele kein Strahlensatz

Vor jeder Rechnung prüfen: Ist die Parallelität gegeben oder bewiesen? Sieht es nur parallel aus, muss erst die Umkehrung ran.

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Die Regeln, an denen die Punkte hängen

In Arbeiten zu diesem Thema gehen die meisten Punkte nicht beim Rechnen verloren, sondern beim Aufstellen.

Regel 1: Entsprechende Seiten zuordnen

Erst die Zuordnung notieren (A ↔ A′ …), dann das Verhältnis. Kurze Seite zu kurzer, lange zu langer — und alle Brüche in derselben Richtung (Bild oben, Original unten).

Regel 2: Beim 2. Strahlensatz nur Strecken ab Z

A′B′AB = AA′ZA ist falsch. Das Teilstück AA′ darf nur im 1. Strahlensatz stehen.

Regel 3: k, k² oder k³?

Einheit ansehen: cm → k, cm² → k², cm³ → k³. Ein Maßstab 1 : 100 bedeutet für Flächen 1 : 10 000.