MINT lernen

Umkehrung des Strahlensatzes

Regalbretter und Zaunlatten: Zwei Aufgaben, in denen erst die Umkehrung zeigt, ob etwas wirklich parallel ist.

1

Das schräge Regal

AFB I–II

Ein Wandregal hängt an zwei schrägen Seilen, die sich oben im Punkt \(Z\) treffen. Das obere Brett ist an den Seilen im Abstand \(\overline{ZA}=40\) cm und \(\overline{ZB}=50\) cm befestigt, das untere bei \(\overline{ZA'}=100\) cm und \(\overline{ZB'}=125\) cm.

  1. Berechnen Sie die Verhältnisse \(\overline{ZA'}:\overline{ZA}\) und \(\overline{ZB'}:\overline{ZB}\).
  2. Weisen Sie nach, dass die beiden Bretter parallel hängen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Außen durch innen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Welcher Satz macht aus gleichen Verhältnissen eine Parallelität?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(100:40=2{,}5\) und \(125:50=2{,}5\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Verhältnisse sind gleich. Nach der Umkehrung des 1. Strahlensatzes ist \(AB\parallel A'B'\): Die Bretter hängen parallel.

2

Der Gartenzaun

AFB II–III

Zwei gerade Zaunlatten stehen auf einem Hang und laufen nach oben auseinander; ihre Verlängerungen treffen sich unten im Punkt \(Z\). Zwei Querstreben sind angenagelt: die untere bei \(\overline{ZA}=0{,}8\) m und \(\overline{ZB}=1{,}0\) m, die obere bei \(\overline{ZA'}=2{,}0\) m und \(\overline{ZB'}=2{,}4\) m. Die untere Strebe ist 0,5 m, die obere 1,25 m lang. Tim sagt: „1,25 : 0,5 = 2,5 = 2,0 : 0,8. Also sind die Streben parallel.“

  1. Überprüfen Sie mit der Umkehrung des 1. Strahlensatzes, ob die Streben parallel sind.
  2. Erklären Sie, warum Tims Rechnung trotz passender Zahlen nichts beweist.
  3. Bestimmen Sie, wo die obere Strebe an der zweiten Latte befestigt werden müsste, damit sie parallel wäre.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Beide Strahlenverhältnisse berechnen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Welcher Strahlensatz steckt in Tims Gleichung — und ist er umkehrbar?
Hinweis zu Aufgabe c)
ZB′ = ZB · k.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(2{,}0:0{,}8=2{,}5\), aber \(2{,}4:1{,}0=2{,}4\). Die Verhältnisse sind verschieden — die Streben sind nicht parallel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Tim vergleicht Parallelenstücke mit einem Strahlenabschnitt — das ist der 2. Strahlensatz, und der lässt sich nicht umkehren. Eine gleich lange Strebe kann auch gekippt angenagelt sein.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\overline{ZB'}=2{,}5\cdot1{,}0\text{ m}=2{,}5\) m, also 10 cm weiter oben.