Parallel oder nicht?
Der 1. Strahlensatz lässt sich umdrehen: Aus gleichen Verhältnissen auf den Strahlen folgt, dass die Geraden parallel sind.
- Gegeben:die Längen \(\overline{ZA}\), \(\overline{ZA'}\), \(\overline{ZB}\), \(\overline{ZB'}\) auf zwei Strahlen.
- Vergleichen:\(\dfrac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}\) und \(\dfrac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}\) ausrechnen.
- Gleich:\(AB\parallel A'B'\).
- Verschieden:Die Geraden schneiden sich irgendwo — nicht parallel.
Schau dir die Figur an und tippe: parallel oder nicht? Erst „Prüfen“ rechnet nach und verlängert die beiden Geraden.
Halte fest: Über Parallelität entscheidet nicht das Hinsehen, sondern der Vergleich der beiden Verhältnisse.
Umkehrung: Aus \(\dfrac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}=\dfrac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}\) folgt \(AB\parallel A'B'\).
Der 2. Strahlensatz lässt sich nicht umkehren
- Idee:Gilt \(\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}\), müsste \(AB\parallel A'B'\) folgen.
- Gegenbeispiel:Um \(A'\) einen Kreis mit Radius \(\overline{A'B'}\) zeichnen. Er trifft den zweiten Strahl oft in zwei Punkten.
- Folge:Beide Punkte liefern dieselbe Länge \(\overline{A'B'}\), aber nur einer ergibt eine Parallele.
- Also:Parallelität immer mit den Abschnitten auf den Strahlen nachweisen.
Allgemeine Hinweise
Augenmaß täuscht
\(1{,}67\) und \(1{,}75\) sehen in der Zeichnung fast gleich aus. Erst die Rechnung entscheidet.
Über Kreuz vergleichen
\(\frac{5}{3}=\frac{6}{3{,}6}\) prüft man ohne Rundung: \(5\cdot3{,}6=18\) und \(3\cdot6=18\) — gleich.
Nur Strecken ab Z
Verglichen werden \(\overline{ZA'}:\overline{ZA}\) und \(\overline{ZB'}:\overline{ZB}\) — nicht die Parallelenstücke \(\overline{AB}\) und \(\overline{A'B'}\).