Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: rückwärts arbeiten, Strukturen erkennen und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Beurteile in drei bis vier Sätzen, ob Mia recht hat: „Alle Rechtecke sind zueinander ähnlich, denn sie haben alle vier rechte Winkel.“ Nenne ein Beispiel und eine Figurenart, bei der die Aussage tatsächlich stimmt.
Hinweis: Ähnlichkeit hat zwei Bedingungen. Prüfe, ob Mia beide abgedeckt hat.
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Musterlösung: Mia hat nicht recht. Für Ähnlichkeit müssen die Winkel gleich sein und alle Seiten im gleichen Verhältnis stehen. Die Rechtecke 2 cm × 3 cm und 2 cm × 5 cm haben zwar dieselben Winkel, aber die Faktoren 2 : 2 = 1 und 5 : 3 ≈ 1,67 sind verschieden — das eine ist schmal, das andere lang gezogen. Bei Quadraten stimmt die Aussage: Alle Seiten sind gleich lang, daher gibt es nur einen einzigen Faktor, und je zwei Quadrate sind ähnlich.
Beurteile, ob Tims Aussage stimmt: „Wenn ich jede Seite eines Dreiecks um 2 cm verlängere, bekomme ich ein ähnliches Dreieck.“ Gibt es Dreiecke, bei denen es trotzdem klappt?
Hinweis: Rechne ein Beispiel mit verschieden langen Seiten durch und bilde die Faktoren.
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Musterlösung: Im Allgemeinen stimmt es nicht. Aus 3 cm, 4 cm, 5 cm wird 5 cm, 6 cm, 7 cm; die Faktoren 5 : 3 ≈ 1,67, 6 : 4 = 1,5 und 7 : 5 = 1,4 sind verschieden, also ist das neue Dreieck nicht ähnlich (das rechtwinklige wird sogar spitzwinklig). Nur bei gleichseitigen Dreiecken klappt es: Aus drei gleichen Seiten werden wieder drei gleiche Seiten, und alle gleichseitigen Dreiecke sind ähnlich.
Begründe anschaulich, warum sich der Flächeninhalt eines Rechtecks vervierfacht, wenn man es mit k = 2 streckt, und leite daraus die allgemeine Regel A′ = k² · A her.
Hinweis: Setze die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks mit den gestreckten Seiten an.
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Musterlösung: Beim Strecken werden Länge und Breite beide k-mal so groß. Für das Rechteck gilt dann A′ = (k · a) · (k · b) = k² · a · b = k² · A. Bei k = 2 passen genau 2 · 2 = 4 Originale in das Bild. Weil sich jede Fläche beliebig genau aus kleinen Quadraten zusammensetzen lässt und jedes davon um k² wächst, gilt die Regel für alle Figuren.
Beurteile mit einer Rechnung, welches Angebot mehr Pizza liefert: eine Pizza mit 30 cm Durchmesser oder zwei Pizzen mit je 20 cm Durchmesser — beide Angebote kosten gleich viel.
Hinweis: Die Pizzen sind ähnlich (Kreise). Bestimme den Streckfaktor zwischen klein und groß.
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Musterlösung: Die große Pizza ist eine Vergrößerung der kleinen mit k = 30 : 20 = 1,5. Ihre Fläche ist also 1,5² = 2,25-mal so groß wie die einer kleinen. Zwei kleine Pizzen ergeben nur das 2-Fache. Die große Pizza liefert damit ein Achtel (12,5 %) mehr — das Angebot mit einer großen Pizza ist besser. (Kontrolle: π · 15² ≈ 707 cm² gegen 2 · π · 10² ≈ 628 cm².)
Beweise, dass im Dreieck ABC die Verbindungsstrecke der Seitenmitten M von AC und N von BC parallel zu AB und halb so lang ist.
Hinweis: Betrachte die V-Figur mit Scheitel C. Welcher Satz liefert zuerst die Parallelität?
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Musterlösung: Da M und N Seitenmitten sind, gilt CMCA = 12 und CNCB = 12. Die Verhältnisse auf den beiden Strahlen von C sind gleich, nach der Umkehrung des 1. Strahlensatzes ist also MN ∥ AB. Jetzt liegt eine Strahlensatzfigur vor, und der 2. Strahlensatz liefert MNAB = CMCA = 12, also MN = 12 · AB.
Beweise, im rechtwinkligen Dreieck ABC (rechter Winkel bei C, Höhe h mit Fußpunkt F, Hypotenusenabschnitte q = AF und p = FB) den Höhensatz h² = p · q.
Hinweis: Die Höhe teilt das große Dreieck in zwei Teildreiecke. Sind die beiden zueinander ähnlich?
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Musterlösung: Die Dreiecke AFC und CFB haben bei F je einen rechten Winkel. Im Dreieck ABC ist α + β = 90°, im Dreieck CFB gilt ∠FCB + β = 90°, also ∠FCB = α. Damit stimmen beide Dreiecke in zwei Winkeln überein und sind nach dem Hauptähnlichkeitssatz ähnlich mit A ↔ C, F ↔ F, C ↔ B. Entsprechende Seiten: qh = hp. Multiplizieren mit h · p ergibt h² = p · q.
Begründe mit einem Gegenbeispiel, dass aus A′B′AB = ZA′ZA nicht folgt, dass AB ∥ A′B′ ist.
Hinweis: Um A′ einen Kreis mit Radius A′B′ zeichnen.
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Musterlösung: Man zeichnet zuerst die parallele Lage A′B′; dort gilt die Gleichung. Der Kreis um A′ mit Radius A′B′ schneidet den zweiten Strahl in der Regel in einem zweiten Punkt B″. Die Strecke A′B″ ist genauso lang wie A′B′, erfüllt also dieselbe Gleichung A′B″AB = ZA′ZA. Sie ist aber gekippt und nicht parallel zu AB. Also folgt aus der Gleichung des 2. Strahlensatzes keine Parallelität.
Beurteile mithilfe von k² und k³, die Idee eines Films: Ein Elefant wird in allen Längen zehnmal so groß und läuft wie gewohnt herum. Die Tragkraft eines Knochens hängt von seiner Querschnittsfläche ab.
Hinweis: Vergleiche, wie stark Masse (Volumen) und Knochenquerschnitt (Fläche) wachsen.
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Musterlösung: Das Volumen und damit die Masse wächst mit k³ = 1000, die Querschnittsfläche der Knochen nur mit k² = 100. Jeder Quadratzentimeter Knochen müsste also das 1000 : 100 = 10-Fache tragen. Die Knochen würden brechen. Deshalb haben große Tiere nicht nur größere, sondern verhältnismäßig dickere Beine — ein riesiger Elefant im selben Körperbau ist nicht möglich.
Entwickle ein Verfahren und begründe es, mit dem man die Breite eines Flusses bestimmen kann, ohne ihn zu überqueren. Zur Verfügung stehen Stäbe und ein Maßband.
Hinweis: Am anderen Ufer einen Baum anpeilen und am eigenen Ufer eine Strahlensatzfigur abstecken.
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Musterlösung: Man peilt einen Baum Z am anderen Ufer an und steckt an der Uferkante zwei Stäbe A und B so, dass sie auf zwei Peillinien zu Z liegen. Weiter vom Ufer entfernt steckt man A′ und B′ auf denselben Peillinien so, dass A′B′ parallel zu AB ist (gleicher Abstand zur Uferkante). Gemessen werden AB, A′B′ und AA′. Mit x = ZA liefert der 2. Strahlensatz xx + AA′ = ABA′B′; daraus berechnet man x und damit ungefähr die Flussbreite.
Vergleiche und beurteile, zwei Schülerlösungen: Lea bestimmt den Streckfaktor einer zentrischen Streckung mit ZP′ZP, Ben mit P′Q′PQ. Führen beide Wege immer zum gleichen Ergebnis? Wann ist Bens Weg günstiger?
Hinweis: Überlege, was eine zentrische Streckung mit Abständen zu Z und mit Strecken der Figur macht.
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Musterlösung: Beide Wege liefern denselben Faktor. Leas Weg ist die Definition der zentrischen Streckung: ZP′ = k · ZP. Aus ihr folgt (mit dem 2. Strahlensatz), dass jede Bildstrecke k-mal so lang ist wie ihre Originalstrecke; daher ist auch P′Q′PQ = k. Bens Weg ist günstiger, wenn das Zentrum Z gar nicht gegeben ist, sondern nur Figur und Bildfigur — dann kann man k direkt aus zwei entsprechenden Strecken bestimmen.