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Übung — AFB II (Zusammenhänge herstellen)

Fotos, Modellautos, Schatten und Baupläne: Hier muss man erst erkennen, welche Figur ähnlich ist — dann ist die Rechnung kurz.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus allen Kapiteln des Themas: erst die Situation übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Foto im Großformat
AFB II

Ein Foto im Format 9 cm × 13 cm soll maßstäblich vergrößert werden, sodass die kurze Seite 27 cm lang ist.

a) Berechne die Länge der langen Seite. b) Wie viel mal so viel Fotopapier braucht das große Bild?

cm
Ansatz: Erst den Streckfaktor aus den kurzen Seiten bestimmen, dann alle Längen damit multiplizieren. Für die Fläche wird mit k² gerechnet.
Rechenweg: k = 27 cm9 cm = 3. Lange Seite: 3 · 13 cm = 39 cm. Fläche: k² = 3² = 9.
Lösung: a) 39 cm b) 9-mal so viel
Vollständige Lösung
Aus den kurzen Seiten folgt k = 27 cm9 cm = 3. Die lange Seite wird damit 3 · 13 cm = 39 cm lang. Weil Länge und Breite beide verdreifacht werden, wächst die Fläche um 3 · 3 = 9: Das große Bild braucht 9-mal so viel Papier (1053 cm² statt 117 cm²). Hinweis: Wer die Fläche nur verdreifacht, vergisst, dass zwei Richtungen wachsen.
A2
Modellauto im Maßstab 1 : 18
AFB II

Ein Auto ist 4,32 m lang. Ein Modell wird im Maßstab 1 : 18 gebaut.

a) Berechne die Länge des Modells in cm. b) Die Dachfläche des Modells ist 150 cm² groß. Berechne die Dachfläche des echten Autos in m².

cm
m²
Ansatz: Maßstab 1 : 18 heißt: Längen im Modell sind 18-mal kleiner. Für Flächen gilt der Faktor 18².
Rechenweg: 432 cm : 18 = 24 cm. Dachfläche: 150 cm² · 18² = 150 cm² · 324 = 48 600 cm² = 4,86 m².
Lösung: a) 24 cm b) 4,86 m²
Vollständige Lösung
Die Autolänge in cm ist 432 cm, geteilt durch 18 ergibt das Modell 24 cm. Vom Modell zum Original ist k = 18, für Flächen also k² = 324: 150 cm² · 324 = 48 600 cm². Wegen 1 m² = 10 000 cm² sind das 4,86 m². Hinweis: Beim Umrechnen von cm² in m² gilt der Faktor 10 000, nicht 100.
A3
Streckzentrum und Bildstrecke
AFB II

Bei einer zentrischen Streckung mit Zentrum Z liegt P′ auf dem Strahl ZP hinter P. Es gilt ZP = 3 cm und PP′ = 4,5 cm.

a) Berechne den Streckfaktor k. b) Eine Strecke QR der Figur ist 2,2 cm lang. Berechne die Länge der Bildstrecke Q′R′.

cm
Ansatz: k ist das Verhältnis ZP′ZP. Dazu erst ZP′ aus den beiden Teilstücken zusammensetzen.
Rechenweg: ZP′ = 3 cm + 4,5 cm = 7,5 cm, also k = 7,5 cm3 cm = 2,5. Q′R′ = 2,5 · 2,2 cm = 5,5 cm.
Lösung: a) 2,5 b) 5,5 cm
Vollständige Lösung
Der Bildpunkt liegt hinter P, also ist ZP′ = 3 cm + 4,5 cm = 7,5 cm und k = 7,53 = 2,5. Jede Strecke der Figur wird mit diesem Faktor gestreckt: Q′R′ = 2,5 · 2,2 cm = 5,5 cm. Hinweis: Der Fehler 4,53 = 1,5 misst ab P statt ab Z.
ZPP′3 cm4,5 cm
Die Teilstücke liegen hintereinander
A4
Seiten im ähnlichen Dreieck
AFB II

Das Dreieck ABC hat die Seiten a = 4 cm, b = 5 cm und c = 6 cm. Das Dreieck DEF ist dazu ähnlich mit A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F, und die Seite d (gegenüber D) ist 6 cm lang.

a) Berechne die Seite e. b) Berechne den Umfang des Dreiecks DEF.

cm
cm
Ansatz: d entspricht a, e entspricht b. Aus d und a folgt der Streckfaktor; der Umfang wächst mit demselben Faktor.
Rechenweg: k = 6 cm4 cm = 1,5. e = 1,5 · 5 cm = 7,5 cm. Umfang: 1,5 · (4 + 5 + 6) cm = 1,5 · 15 cm = 22,5 cm.
Lösung: a) 7,5 cm b) 22,5 cm
Vollständige Lösung
Die Seite d liegt gegenüber D und gehört damit zu a. Also ist k = 64 = 1,5 und e = 1,5 · 5 cm = 7,5 cm, f = 1,5 · 6 cm = 9 cm. Der Umfang ist 6 cm + 7,5 cm + 9 cm = 22,5 cm — genau 1,5-mal der Umfang 15 cm des Originals. Hinweis: Längen wie der Umfang wachsen mit k, nicht mit k².
A5
Strahlensatz mit Teilstück
AFB II

In der V-Figur ist AB ∥ A′B′. Gemessen wurden ZA = 6 cm, AA′ = 4 cm und ZB = 4,5 cm.

a) Berechne ZB′. b) Berechne BB′.

cm
cm
Ansatz: Für den 1. Strahlensatz die ganze Strecke ZA′ = ZA + AA′ bilden. Alternativ direkt mit Teilstücken: BB′ZB = AA′ZA.
Rechenweg: ZA′ = 10 cm. ZB′ = 106 · 4,5 cm = 7,5 cm. BB′ = 7,5 cm − 4,5 cm = 3 cm.
Lösung: a) 7,5 cm b) 3 cm
Vollständige Lösung
Zuerst ZA′ = 6 cm + 4 cm = 10 cm. Nach dem 1. Strahlensatz ist ZB′ZB = ZA′ZA, also ZB′ = 106 · 4,5 cm = 7,5 cm. Damit ist BB′ = 7,5 cm − 4,5 cm = 3 cm. Kontrolle mit den Teilstücken: 34,5 = 46 = 23. Hinweis: Beim 1. Strahlensatz sind auch Teilstücke erlaubt — beim 2. nicht.
ZAA′BB′644,5?
Längen in cm
A6
Die X-Figur
AFB II

Zwei Geraden schneiden sich in Z. AB und A′B′ sind parallel und liegen auf verschiedenen Seiten von Z. Es gilt ZA = 3 cm, ZA′ = 5 cm, AB = 2,4 cm und ZB = 2,7 cm.

a) Berechne A′B′. b) Berechne ZB′.

cm
cm
Ansatz: In der X-Figur gelten dieselben Strahlensätze wie in der V-Figur — alle Strecken werden ab Z gemessen.
Rechenweg: k = 53. A′B′ = 53 · 2,4 cm = 4 cm. ZB′ = 53 · 2,7 cm = 4,5 cm.
Lösung: a) 4 cm b) 4,5 cm
Vollständige Lösung
Nach dem 2. Strahlensatz ist A′B′AB = ZA′ZA = 53, also A′B′ = 53 · 2,4 cm = 4 cm. Nach dem 1. Strahlensatz ist ZB′ = 53 · 2,7 cm = 4,5 cm. Hinweis: Häufiger Fehler: die gegenüberliegenden Punkte falsch zuordnen. A′ liegt auf der Geraden durch Z und A.
ZABA′B′352,42,7
X-Figur, Längen in cm
A7
Turmhöhe aus dem Schatten
AFB II

Ein 1,2 m langer Stab steht senkrecht und wirft einen 1,6 m langen Schatten. Zur selben Zeit ist der Schatten eines Turms 36 m lang.

a) Berechne die Höhe des Turms. b) Zwei Stunden später ist der Stabschatten 2,0 m lang. Wie lang ist dann der Turmschatten?

m
m
Ansatz: Stab mit Schatten und Turm mit Schatten bilden ähnliche Dreiecke: Höhe und Schatten stehen jeweils im gleichen Verhältnis.
Rechenweg: h = 1,2 m · 36 m1,6 m = 1,2 m · 22,5 = 27 m. Später: Turmschatten = 27 m · 2,0 m1,2 m = 45 m.
Lösung: a) 27 m b) 45 m
Vollständige Lösung
Aus h36 m = 1,2 m1,6 m folgt h = 27 m. Später gilt Turmschatten27 m = 2,0 m1,2 m, also Turmschatten = 27 m · 2,01,2 = 45 m. Hinweis: Die Turmhöhe bleibt gleich — nur das Verhältnis Schatten : Höhe ändert sich mit dem Sonnenstand.
A8
Das Försterdreieck
AFB II

Ein Förster hält ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck vor das Auge (Augenhöhe 1,6 m) und geht so lange, bis er über die schräge Seite genau die Baumspitze anpeilt. Dann ist er 14,5 m vom Baum entfernt.

a) Wie hoch liegt die Baumspitze über seiner Augenhöhe? b) Berechne die Höhe des Baums.

m
m
Ansatz: Das Dreieck ist gleichschenklig: Die beiden Katheten sind gleich lang. Das große ähnliche Dreieck bis zur Baumspitze ist es deshalb auch.
Rechenweg: Höhe über Auge = Abstand = 14,5 m. Baumhöhe = 14,5 m + 1,6 m = 16,1 m.
Lösung: a) 14,5 m b) 16,1 m
Vollständige Lösung
Sehlinie, Waagerechte auf Augenhöhe und Baum bilden ein Dreieck, das zum Försterdreieck ähnlich ist (gleiche Winkel: 90°, 45°, 45°). Daher ist die Höhe über dem Auge so groß wie der Abstand: 14,5 m. Dazu kommt die Augenhöhe: h = 16,1 m. Hinweis: Die Augenhöhe wird gern vergessen — gemessen wird ab dem Auge, nicht ab dem Boden.
A9
Parallel oder nicht?
AFB II

Auf zwei Strahlen mit Anfangspunkt Z liegen die Punkte A, A′ und B, B′. Gemessen wurden ZA = 2,5 cm, ZA′ = 6 cm, ZB = 3 cm und ZB′ = 7,2 cm.

a) Berechne ZA′ZA. b) Berechne ZB′ZB und entscheide, ob AB ∥ A′B′.

Ansatz: Umkehrung des 1. Strahlensatzes: Sind die beiden Verhältnisse gleich, sind die Geraden parallel.
Rechenweg: 62,5 = 2,4 und 7,23 = 2,4.
Lösung: a) 2,4 b) 2,4 — also parallel
Vollständige Lösung
ZA′ZA = 6 cm2,5 cm = 2,4 und ZB′ZB = 7,2 cm3 cm = 2,4. Die Verhältnisse sind gleich, nach der Umkehrung des 1. Strahlensatzes ist AB ∥ A′B′. Hinweis: Nur die Abschnitte auf den Strahlen beweisen Parallelität — mit AB und A′B′ geht es nicht.
A10
Grundstück auf dem Bauplan
AFB II

Auf einem Bauplan im Maßstab 1 : 500 hat ein Grundstück den Flächeninhalt 24 cm².

a) Berechne die wirkliche Fläche in m². b) Wie groß ist das Grundstück auf einem Plan im Maßstab 1 : 1000 (in cm²)?

m²
cm²
Ansatz: Flächen wachsen mit dem Quadrat des Maßstabsfaktors. Von 1 : 500 zu 1 : 1000 halbieren sich die Längen.
Rechenweg: 24 cm² · 500² = 24 cm² · 250 000 = 6 000 000 cm² = 600 m². Halbe Längen: 24 cm² : 4 = 6 cm².
Lösung: a) 600 m² b) 6 cm²
Vollständige Lösung
Mit k = 500 ist der Flächenfaktor 500² = 250 000. 24 cm² · 250 000 = 6 000 000 cm² = 600 m². Im Maßstab 1 : 1000 sind alle Längen halb so lang wie auf dem ersten Plan, die Fläche also nur ein Viertel: 24 cm² : 4 = 6 cm². Hinweis: Wer 24 · 500 = 12 000 cm² rechnet, erhält ein Grundstück von nur 1,2 m².