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Übung — AFB I (Reproduzieren)

Zehn Aufgaben, bei denen je eine Formel und ein eingesetzter Wert genügen — genau die Punkte, die in der Klassenarbeit niemand verschenken sollte.

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: Formel kennen, Werte einsetzen, ausrechnen. Das sind die sicheren Punkte in jeder Arbeit — wer Streckfaktor, zentrische Streckung und die beiden Strahlensätze sicher aufschreibt, hat den Grundstock beisammen.

A1
Streckfaktor aus zwei Längen
AFB I

Ein Rechteck mit den Seiten 4 cm und 6 cm wird maßstäblich vergrößert. Im Bild ist die kurze Seite 10 cm lang. Berechne den Streckfaktor k.

Streckfaktor: k = BildlängeOriginallänge. Setze ein: 10 cm4 cm — ein häufiger Fehler ist, den Bruch umzudrehen; dann käme 0,4 heraus, also eine Verkleinerung.
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k = 10 cm4 cm = 2,5
4 cm10 cmBild
Original (links) und Bild (rechts)
A2
Bildlänge berechnen
AFB I

Ein Dreieck wird mit dem Streckfaktor k = 1,5 vergrößert. Eine Seite ist im Original 3,2 cm lang. Berechne die Länge dieser Seite im Bild.

cm
Bildlänge: a′ = k · a. Setze ein: 1,5 · 3,2 cm — ein häufiger Fehler ist, 1,5 cm zu addieren statt mit 1,5 zu multiplizieren.
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a′ = 1,5 · 3,2 cm = 4,8 cm
A3
Maßstab einer Wanderkarte
AFB I

Auf einer Wanderkarte im Maßstab 1 : 25 000 ist ein Weg 6 cm lang. Gib die Länge in Wirklichkeit in Kilometern an.

km
Maßstab: 1 cm auf der Karte ≙ 25 000 cm in Wirklichkeit. Setze ein: 6 · 25 000 cm = 150 000 cm — ein häufiger Fehler ist die Umrechnung: 1 km = 100 000 cm, nicht 1000 cm.
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6 cm · 25 000 = 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km
A4
Bildpunkt bei der zentrischen Streckung
AFB I

Ein Punkt P hat vom Streckzentrum Z den Abstand ZP = 2,4 cm. Die Figur wird mit k = 3 zentrisch gestreckt. Berechne ZP′.

cm
Zentrische Streckung: ZP′ = k · ZP. Setze ein: 3 · 2,4 cm — ein häufiger Fehler ist, nur den Abstand von P nach P′ zu berechnen; gemessen wird immer ab Z.
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ZP′ = 3 · 2,4 cm = 7,2 cm
ZPP′2,4 cm?
Z, P und der Bildpunkt P′ liegen auf einem Strahl
A5
Streckfaktor einer Verkleinerung
AFB I

Bei einer zentrischen Streckung ist ZP = 5 cm und ZP′ = 2 cm. Berechne den Streckfaktor k.

Streckfaktor: k = ZP′ZP. Setze ein: 2 cm5 cm — ein häufiger Fehler ist, 5 : 2 = 2,5 zu rechnen — das Bild liegt aber näher an Z, also muss k kleiner als 1 sein.
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k = 2 cm5 cm = 0,4
A6
Flächeninhalt nach dem Strecken
AFB I

Ein Dreieck hat den Flächeninhalt A = 6 cm². Es wird mit k = 3 gestreckt. Berechne den Flächeninhalt des Bilddreiecks.

cm²
Flächeninhalt: A′ = k² · A. Setze ein: 3² · 6 cm² = 9 · 6 cm² — ein häufiger Fehler ist, nur mit k = 3 zu multiplizieren; Länge und Breite wachsen aber beide.
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A′ = 3² · 6 cm² = 9 · 6 cm² = 54 cm²
A7
Volumen eines vergrößerten Würfels
AFB I

Ein Würfel hat das Volumen V = 8 cm³. Alle Kanten werden verdoppelt. Berechne das neue Volumen.

cm³
Volumen: V′ = k³ · V. Setze ein: 2³ · 8 cm³ = 8 · 8 cm³ — ein häufiger Fehler ist, mit 2 oder 4 zu multiplizieren; beim Volumen wachsen drei Richtungen.
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V′ = 2³ · 8 cm³ = 8 · 8 cm³ = 64 cm³
A8
Erster Strahlensatz
AFB I

In der Figur ist AB ∥ A′B′. Es gilt ZA = 4 cm, ZA′ = 10 cm und ZB = 3 cm. Berechne ZB′.

cm
1. Strahlensatz: ZB′ZB = ZA′ZA. Setze ein: ZB′ = 104 · 3 cm — ein häufiger Fehler ist, die Brüche unterschiedlich herum aufzustellen (einmal groß durch klein, einmal klein durch groß).
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ZB′ = 10 cm4 cm · 3 cm = 2,5 · 3 cm = 7,5 cm
ZAA′BB′4103?
V-Figur, Längen in cm
A9
Zweiter Strahlensatz
AFB I

In der Figur ist AB ∥ A′B′. Es gilt ZA = 5 cm, ZA′ = 8 cm und AB = 3 cm. Berechne A′B′.

cm
2. Strahlensatz: A′B′AB = ZA′ZA. Setze ein: A′B′ = 85 · 3 cm — ein häufiger Fehler ist, statt ZA′ nur das Teilstück AA′ = 3 cm zu nehmen.
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A′B′ = 8 cm5 cm · 3 cm = 1,6 · 3 cm = 4,8 cm
ZAA′BB′583?
V-Figur, Längen in cm
A10
Winkel im ähnlichen Dreieck
AFB I

Im Dreieck ABC ist α = 48° und β = 67°. Das Dreieck A′B′C′ ist dazu ähnlich, mit A ↔ A′, B ↔ B′, C ↔ C′. Gib γ′ an.

°
Winkelsumme: α + β + γ = 180°, und ähnliche Dreiecke haben gleiche Winkel. Setze ein: 180° − 48° − 67° — ein häufiger Fehler ist, den Winkel mit einem Streckfaktor zu verändern; Winkel bleiben beim Strecken gleich.
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γ′ = γ = 180° − 48° − 67° = 65°