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Höhen und Entfernungen

Schatten, Försterdreieck und Flussufer: zehn Übungen, bei denen man misst, was man nicht erreichen kann.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen, von AFB I bis AFB III — zum Klicken, Ziehen, Zuordnen und Rechnen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung und erklärt danach den typischen Fehler.

A1
Warum sind die Dreiecke ähnlich?
AFB I

Schattenmethode: Stab und Laterne stehen senkrecht, die Sonne scheint. Welche Begründungen tragen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
WW: rechter Winkel am Boden und gleicher Sonnenwinkel. Stünde die Sonne senkrecht, gäbe es gar keinen Schatten.
A2
Blitzrechnung: Laterne
AFB I

Ein 1 m langer Stab wirft einen 0,8 m langen Schatten. Eine Laterne wirft gleichzeitig einen 4 m langen Schatten. Wie hoch ist die Laterne (in m)?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
h = 1 m · 4 : 0,8 = 5 m. Der Schatten ist kürzer als der Gegenstand — die Sonne steht also hoch (über 45°).
A3
Was wird gemessen, was berechnet?
AFB I

Schattenmethode: Ordne die Größen zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1wird gemessen
2wird berechnet
Nur Dinge am Boden und der Stab sind direkt messbar — die unzugängliche Höhe liefert die Ähnlichkeit.
A4
Die Schattenmethode Schritt für Schritt
AFB I

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Stab senkrecht aufstellen
2Stablänge s messen
3Gleichzeitig Stabschatten t und Baumschatten T messen
4Alle Längen in dieselbe Einheit umrechnen
5h = s · T : t berechnen
Gleichzeitig messen ist entscheidend: Nach einer Stunde hat sich der Sonnenwinkel geändert.
A5
Rechenkette: das Försterdreieck
AFB II

Ein Förster peilt mit einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck die Spitze eines Baums an. Seine Augenhöhe ist 1,7 m, er steht 18,5 m vom Baum entfernt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Höhe der Spitze über den Augen in m m
  2. Baumhöhe in m m
  3. Um wie viel m muss er zurückgehen, wenn der Baum 22,2 m hoch wäre? m
Gleichschenklig heißt: Höhe über dem Auge = Abstand. Für 22,2 m braucht er 20,5 m Abstand, also 2 m mehr.
A6
Die Flussbreite
AFB II

Z ist ein Baum am anderen Ufer. A und B stehen an der eigenen Uferkante mit AB = 6 m, A′ und B′ weiter hinten auf denselben Peillinien mit A′B′ = 8 m und AB ∥ A′B′. Der Abstand AA′ beträgt 5 m. Stelle die Entfernung ZA ein.

Schiebe den Regler auf den berechneten Wert — Pfeiltasten bewegen ihn in Schritten von 0,5. Der Regler muss exakt stimmen.
530
ZA : (ZA + 5) = 6 : 8 ⇒ 8 · ZA = 6 · ZA + 30 ⇒ ZA = 15 m.
A7
Verfahren und Idee
AFB II

Verbinde jedes Messverfahren mit der mathematischen Idee dahinter.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Alle Verfahren beruhen auf derselben Idee: Eine kleine, messbare Figur ist ähnlich zur großen, unzugänglichen.
A8
Fehlersuche im Protokoll
AFB II

Messprotokoll zur Schattenmethode — drei Zeilen sind fehlerhaft.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Plausibel? Ein 2000 m hoher Turm oder einer, der höher als sein Schatten lang ist, obwohl der Stab kürzer als sein Schatten ist — beides fällt beim Nachdenken sofort auf.
A9
Welche Größe brauchst du?
AFB III

Kreuze an, welche Messwerte für das Verfahren nötig sind.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
VerfahrenAbstand zum Objekteigene Augenhöheein Schatten
Försterdreieck
Schattenmethode
Peilen über einen senkrechten Stab
Höhe aus zwei Schatten
Verfahren mit Sonne brauchen Schatten, Peilverfahren brauchen Abstand und Augenhöhe — die wird oft vergessen.
A10
Wie wirkt sich der Fehler aus?
AFB III

Schattenmethode mit s = 1 m, t = 0,5 m, T = 10 m ergibt h = 20 m. Wie stark ändert sich das Ergebnis, wenn …? (1 = kaum, 5 = sehr stark)

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = kaum, 2 = wenig, 3 = mittel, 4 = stark, 5 = sehr stark. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = kaum5 = sehr stark
T um 10 cm falsch gemessen (h ≈ 20,2 m)
t um 10 cm falsch gemessen (h ≈ 16,7 m oder 25 m)
s um 1 cm falsch gemessen (h ≈ 20,2 m)
t in cm statt m eingesetzt (h = 0,2 m)
Messung 10 Minuten versetzt (Sonnenwinkel leicht anders)
Der kurze Stabschatten steht im Nenner — schon kleine Messfehler dort verändern das Ergebnis stark.