Der Kirchturm
AFB I–IIDie Klasse 9b will die Höhe des Kirchturms bestimmen. Um 11 Uhr wirft ein 1,5 m langer, senkrecht gehaltener Stab einen 2,1 m langen Schatten. Der Schatten des Turms ist zur selben Zeit 49 m lang.
- Begründen Sie, warum die Dreiecke aus Stab und Schatten bzw. Turm und Schatten ähnlich sind.
- Berechnen Sie die Höhe des Turms.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Beide Dreiecke haben am Boden einen rechten Winkel, und die parallelen Sonnenstrahlen treffen unter demselben Winkel auf den Boden. Nach WW sind sie ähnlich.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(h=1{,}5\text{ m}\cdot\frac{49}{2{,}1}=35\text{ m}\).
Die Brücke über den Fluss
AFB II–IIIEine Gemeinde plant eine Fußgängerbrücke. Um die Breite des Flusses zu bestimmen, peilt Jonas einen Baum \(Z\) am anderen Ufer an. An der Uferkante stecken zwei Stäbe \(A\) und \(B\) mit \(\overline{AB}=12\) m. Weiter vom Ufer weg stecken auf denselben Peillinien \(A'\) und \(B'\) mit \(\overline{A'B'}=15\) m, parallel zu \(AB\). Der Abstand \(\overline{AA'}\) ist 4 m. Eine Firma bietet Brücken bis 20 m Spannweite an.
- Stellen Sie eine Gleichung für die Entfernung \(x=\overline{ZA}\) auf.
- Lösen Sie die Gleichung und geben Sie die Entfernung an.
- Bewerten Sie, ob die Brücke der Firma ausreicht. Berücksichtigen Sie, dass der Baum nicht direkt an der Uferkante steht.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\frac{x}{x+4}=\frac{12}{15}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(15x=12x+48\Rightarrow3x=48\Rightarrow x=16\) m.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
16 m < 20 m, und die wirkliche Flussbreite ist sogar kleiner, weil der Baum etwas vom Ufer entfernt steht. Selbst mit Messfehlern von einigen Dezimetern bleibt genug Reserve — die Brücke reicht, sofern die Stäbe sorgfältig parallel gesteckt wurden.