Die Strahlensatzfigur
Zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt \(Z\) werden von zwei parallelen Geraden geschnitten.
- Punkte:\(A\), \(A'\) auf dem einen Strahl, \(B\), \(B'\) auf dem anderen, \(AB\parallel A'B'\).
- V-Figur:Beide Parallelen liegen auf derselben Seite von \(Z\).
- X-Figur:\(Z\) liegt zwischen den Parallelen, die Strahlen werden zu Geraden.
- Warum:\(A'B'\) entsteht aus \(AB\) durch eine zentrische Streckung an \(Z\).
Verschiebe die zweite Parallele, öffne die Strahlen weiter oder kippe die Parallelen. Beobachte die drei Verhältnisse im Werte-Kasten.
Halte fest: Was du auch einstellst — die drei Verhältnisse sind immer gleich, nämlich der Streckfaktor \(k\).
Erster und zweiter Strahlensatz
- 1. Strahlensatz:Abschnitte auf den Strahlen stehen im gleichen Verhältnis.
- 2. Strahlensatz:Die Parallelenstücke stehen im selben Verhältnis wie die Abschnitte ab \(Z\).
- Beispiel:\(\overline{ZA}=3\,\mathrm{cm}\), \(\overline{ZA'}=6\,\mathrm{cm}\), \(\overline{AB}=2\,\mathrm{cm}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{A'B'}=\frac{6}{3}\cdot 2\,\mathrm{cm}=4\,\mathrm{cm}\).
- Auch so:\(\dfrac{\overline{AA'}}{\overline{ZA}}=\dfrac{\overline{BB'}}{\overline{ZB}}\) — beim 1. Strahlensatz dürfen auch die Teilstücke stehen.
1. Strahlensatz: \(\dfrac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}=\dfrac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}\) 2. Strahlensatz: \(\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}\)
Allgemeine Hinweise
Parallelenstücke nur mit Z
Beim 2. Strahlensatz immer Strecken ab \(Z\) nehmen: \(\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AA'}}{\overline{ZA}}\) ist falsch.
Unbekannte nach oben
Die gesuchte Strecke in den Zähler schreiben, dann reicht ein Malnehmen: \(x=\frac{6}{3}\cdot 2\,\mathrm{cm}\).
Ohne Parallele kein Strahlensatz
Die Sätze gelten nur, wenn \(AB\parallel A'B'\) sicher ist — nachmessen reicht nicht.