Wissen und Reproduzieren
30 PunkteEin Dreieck mit den Seiten 4 cm, 6 cm und 7 cm wird maßstäblich vergrößert. Im Bild ist die kürzeste Seite 6 cm lang.
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a) k = 6 : 4 = 1,5 (1 P). b) 1,5 · 6 cm = 9 cm (2 P). c) 1,5 · 7 cm = 10,5 cm (2 P).
Welche Figurenpaare sind immer zueinander ähnlich?
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Quadrate, gleichseitige Dreiecke und Kreise haben jeweils nur eine Form (ein Seitenverhältnis bzw. feste Winkel). Rechtecke, Rauten und rechtwinklige Dreiecke können verschieden „schlank“ sein.
Eine Figur wird von Z aus zentrisch gestreckt.
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a) ZP′ = 2,5 · 3,2 cm = 8 cm (2 P). b) k = 4,5 : 6 = 0,75 — Verkleinerung (3 P).
Figuren und Körper werden gestreckt.
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a) 2² · 12 cm² = 48 cm² (2 P). b) 3³ · 5 cm³ = 135 cm³ (2 P). c) k = √25 = 5 (2 P).
In einer V-Figur ist AB ∥ A′B′, ZA = 3 cm, ZA′ = 7,5 cm und ZB = 4 cm.
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a) ZB′ZB = ZA′ZA ⇒ ZB′ = 2,5 · 4 cm = 10 cm (3 P). b) BB′ = 10 cm − 4 cm = 6 cm (2 P).
In einer V-Figur ist AB ∥ A′B′, ZA = 4 cm, ZA′ = 10 cm und AB = 2,6 cm.
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a) A′B′AB = ZA′ZA = 2,5 ⇒ A′B′ = 2,5 · 2,6 cm = 6,5 cm (3 P). b) AA′ = 10 cm − 4 cm = 6 cm (2 P).
Zusammenhänge herstellen
40 PunkteEin Foto im Format 10 cm × 15 cm wird zu einem Poster vergrößert, dessen lange Seite 60 cm misst.
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a) k = 60 : 15 = 4 (2 P). b) 4 · 10 cm = 40 cm (2 P). c) k² = 16 (2 P).
△ABC ∼ △PQR mit A ↔ P, B ↔ Q, C ↔ R. Es gilt a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm und r = 12 cm (Seite gegenüber R).
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a) r gehört zu c: k = 12 : 8 = 1,5 (2 P). b) p = 1,5 · 5 cm = 7,5 cm (2 P). c) q = 1,5 · 7 cm = 10,5 cm (3 P).
Zwei Geraden schneiden sich in Z; AB ∥ A′B′ liegen auf verschiedenen Seiten von Z. ZA = 2,4 cm, ZA′ = 3,6 cm, AB = 3,2 cm, ZB = 2 cm.
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a) k = 3,6 : 2,4 = 1,5; A′B′ = 1,5 · 3,2 cm = 4,8 cm (3 P). b) ZB′ = 1,5 · 2 cm = 3 cm (2 P). c) B und B′ liegen auf verschiedenen Seiten von Z: 2 cm + 3 cm = 5 cm (2 P).
Ein 1,5 m langer Stab wirft einen 2,5 m langen Schatten, ein Fahnenmast gleichzeitig einen 20 m langen.
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a) h = 1,5 m · 20 : 2,5 = 12 m (3 P). b) Stabschatten : 1,5 m = 16 m : 12 m ⇒ Stabschatten = 2 m (3 P).
Auf zwei Strahlen von Z gilt ZA = 2,5 cm, ZA′ = 6 cm, ZB = 3,5 cm und ZB′ = 8,5 cm.
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a) 6 : 2,5 = 2,4 (2 P). b) 8,5 : 3,5 ≈ 2,43 ≠ 2,4 — die Verhältnisse sind verschieden, also nicht parallel (4 P).
Auf einer Karte im Maßstab 1 : 20 000 ist ein rechteckiger Park 3 cm breit und 4,5 cm lang.
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a) 4,5 cm · 20 000 = 90 000 cm = 900 m (2 P). b) 3 cm · 4,5 cm = 13,5 cm² (2 P). c) 600 m · 900 m = 540 000 m² = 54 ha — oder 13,5 cm² · 20 000² (4 P).
Verallgemeinern und beurteilen
30 PunkteIm Trapez ABCD ist AB ∥ CD, AB = 12 cm und CD = 4 cm. Die Diagonalen schneiden sich in S; durch S verläuft EF ∥ AB mit E auf AD und F auf BC.
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a) X-Figur um S: AS : SC = 12 : 4 = 3 (2 P). b) AS : AC = 3 : 4; V-Figur mit Scheitel A: ES = 34 · 4 cm = 3 cm (3 P). c) ebenso SF = 3 cm, also EF = 6 cm (3 P).
Eine Pizza mit 36 cm Durchmesser kostet 12 €, eine mit 24 cm Durchmesser 6 €.
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a) k = 36 : 24 = 1,5, Flächenfaktor 1,5² = 2,25 (2 P). b) Die große kostet das 2-Fache, liefert aber das 2,25-Fache an Fläche — sie ist pro cm² günstiger (4 P).
Im rechtwinkligen Dreieck ABC (rechter Winkel bei C) teilt die Höhe h mit Fußpunkt F die Hypotenuse in q = AF und p = FB. Bewiesen werden soll h² = p · q.
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Beide Teildreiecke haben bei F einen rechten Winkel; wegen α + β = 90° und ∠FCB + β = 90° ist ∠FCB = α. Nach WW sind die Dreiecke ähnlich (nicht kongruent). Entsprechende Seiten: q : h = h : p, also h² = p · q.
Ein Dinosauriermodell im Maßstab 1 : 25 aus demselben Material wie gedacht hat die Masse 2 kg; ein Fuß des Modells berührt den Boden mit 20 cm².
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a) Masse ∼ Volumen: 2 kg · 25³ = 2 kg · 15 625 = 31 250 kg (3 P). b) 20 cm² · 25² = 12 500 cm² (2 P). c) 25³ : 25² = 25 — jeder cm² trägt 25-mal so viel (3 P).
Ergebnis
| Aufgabe | Thema | Punkte |
|---|
Notenschema
| Punkte | Note | Beurteilung |
|---|---|---|
| 100 – 92 P | 1 | sehr gut |
| 91 – 80 P | 2 | gut |
| 79 – 60 P | 3 | befriedigend |
| 59 – 44 P | 4 | ausreichend |
| 43 – 24 P | 5 | mangelhaft |
| 23 – 0 P | 6 | ungenügend |