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Mehrstufig argumentieren

Leitern, Zeltstangen und Trapeze: Zwei Aufgaben, die nur in mehreren Schritten lösbar sind.

1

Die gekreuzten Leitern

AFB I–II

Zwischen zwei senkrechten Hauswänden lehnen zwei Leitern über Kreuz. Die eine reicht an der linken Wand bis in 6 m Höhe, die andere an der rechten Wand bis in 3 m Höhe. Die Leitern kreuzen sich im Punkt \(S\).

Gekreuzte Leitern
6 m3 mSh
h = Höhe des Kreuzungspunkts, nicht maßstäblich
  1. Bestimmen Sie mit der X-Figur, in welchem Verhältnis \(S\) die Leiter teilt, die an der linken Wand lehnt.
  2. Berechnen Sie die Höhe \(h\) des Kreuzungspunkts über dem Boden.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die beiden Wände sind parallel. Welche Dreiecke um \(S\) sind ähnlich?
Hinweis zu Aufgabe b)
Zweite Stufe: V-Figur mit Scheitel am Fußpunkt der Leiter, die links oben lehnt.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Wandstücke (6 m und 3 m) sind parallel; die Dreiecke um \(S\) sind ähnlich (Scheitel- und Wechselwinkel). Die Leiter wird im Verhältnis \(6:3=2:1\) geteilt: \(S\) liegt bei \(\frac{2}{3}\) der Leiter, von der hohen Wand aus gemessen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Vom Fußpunkt dieser Leiter an der rechten Wand aus: \(\frac{h}{6}=\frac{1}{3}\), also \(h=2\) m (Kontrolle: \(\frac{2\cdot6\cdot3}{6+3}:2=2\)).

2

Unabhängig vom Abstand?

AFB II–III

Lina misst bei den gekreuzten Leitern aus Aufgabe 1 den Abstand der Wände: 4 m. Ben hat dieselbe Situation mit einem Wandabstand von 7 m gezeichnet und behauptet: „Bei mir kreuzen sich die Leitern höher, weil sie länger sind.“

  1. Leiten Sie allgemein her, dass für Wandhöhen \(a\) und \(b\) gilt: \(h=\frac{a\cdot b}{a+b}\).
  2. Deuten Sie das Ergebnis: Welche Größe kommt in der Formel nicht vor?
  3. Beurteilen Sie Bens Behauptung.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Erst das Teilungsverhältnis \(a:b\), dann eine V-Figur mit Scheitel am Boden.
Hinweis zu Aufgabe b)
Suchen Sie den Wandabstand in der Formel.
Hinweis zu Aufgabe c)
Kriterien: Formel aus a), was ändert sich bei größerem Abstand?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

X-Figur: \(S\) teilt die Leitern im Verhältnis \(a:b\). V-Figur mit Scheitel am Fuß der Leiter, die an der Wand der Höhe \(a\) lehnt: \(\frac{h}{a}=\frac{b}{a+b}\), also \(h=\frac{ab}{a+b}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Wandabstand kommt nicht vor: Die Höhe des Kreuzungspunkts hängt nur von den Wandhöhen ab — hier immer \(\frac{18}{9}=2\) m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ben irrt: Längere Leitern bei größerem Abstand verschieben \(S\) nur waagerecht, die Höhe bleibt 2 m. Das zeigt die Formel aus a); eine Zeichnung mit 7 m Abstand bestätigt es.