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Mehrstufig argumentieren

Manche Strecke steckt in keiner einzelnen Strahlensatzfigur — erst ein Zwischenergebnis aus einer zweiten Figur öffnet den Weg.

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Teilfiguren finden

In verschachtelten Figuren löst man die Aufgabe in Etappen: Jede Teilfigur liefert eine Größe, die die nächste braucht.

  • Suchen:V-Figuren, X-Figuren und ähnliche Dreiecke in der Figur markieren.
  • Rückwärts denken:Welche Figur enthält die gesuchte Strecke — und was fehlt dort noch?
  • Zwischengröße:die fehlende Größe mit einer anderen Teilfigur berechnen.
  • Begründen:für jede Teilfigur die Parallelen oder gleichen Winkel nennen.

Im Trapez \(ABCD\) mit \(AB\parallel CD\) schneiden sich die Diagonalen in \(S\); die Strecke \(EF\) durch \(S\) ist parallel zu \(AB\). Löse nacheinander drei Teilfiguren heraus — die Reihenfolge ist nicht egal.

Teilfiguren herauslösen

Halte fest: Die X-Figur liefert das Teilungsverhältnis der Diagonale — erst damit werden die beiden V-Figuren rechenbar.

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Die Kette allgemein

Mit \(\overline{AB}=a\) und \(\overline{CD}=b\) lässt sich \(\overline{EF}\) für jedes solche Trapez berechnen.

Herleitung:

\(\dfrac{\overline{AS}}{\overline{SC}}=\dfrac{a}{b}\)
X-Figur
Dreiecke \(ABS\) und \(CDS\), 2. Strahlensatz mit Scheitel \(S\).
\(\dfrac{\overline{AS}}{\overline{AC}}=\dfrac{a}{a+b}\)
| \(\overline{AC}=\overline{AS}+\overline{SC}\)
\(\overline{AS}\) hat \(a\) Teile, die ganze Diagonale \(a+b\) Teile.
\(\dfrac{\overline{ES}}{b}=\dfrac{a}{a+b}\)
V-Figur A
2. Strahlensatz mit Scheitel \(A\), denn \(ES\parallel DC\).
\(\overline{ES}=\dfrac{a\cdot b}{a+b}\)
| · \(b\)
Nach \(\overline{ES}\) auflösen.
\(\overline{SF}=\dfrac{a\cdot b}{a+b}\)
V-Figur B
Genauso mit Scheitel \(B\) und der Diagonale \(BD\).
\(\overline{EF}=\dfrac{2ab}{a+b}\)
Ergebnis
\(\overline{EF}=\overline{ES}+\overline{SF}\). Für \(a=6\,\mathrm{cm}\), \(b=3\,\mathrm{cm}\): \(\overline{EF}=\frac{36}{9}\,\mathrm{cm}=4\,\mathrm{cm}\).
Merke

Parallele durch S im Trapez: \(\overline{EF}=\dfrac{2ab}{a+b}\)

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Allgemeine Hinweise

Teilfiguren herauszeichnen

Jede benutzte V- oder X-Figur noch einmal klein daneben skizzieren und nur ihre Strecken beschriften.

Die ganze Strecke ab dem Scheitel

In der V-Figur mit Scheitel \(A\) gehört zu \(\overline{DC}\) die ganze Diagonale \(\overline{AC}\), nicht nur \(\overline{SC}\).

Zwischenergebnisse als Bruch

\(\frac{2}{3}\) statt \(0{,}67\) weiterrechnen — sonst schleppen sich Rundungsfehler durch alle Schritte.

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