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Flächen und Volumen

Kinoplakate und Schokohasen: Zwei Aufgaben, bei denen der Faktor k² oder k³ über den Preis entscheidet.

1

Das Riesenplakat

AFB I–II

Ein Kino lässt ein Filmplakat vom Format 60 cm × 84 cm maßstäblich auf eine Werbewand vergrößern. Die Werbewand ist 3 m breit. Für den Druck berechnet die Firma 18 € pro m².

  1. Bestimmen Sie den Streckfaktor und die Höhe des großen Plakats.
  2. Berechnen Sie die Druckkosten.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Breite der Wand durch Breite des Plakats — beides in cm.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erst die Fläche in m², dann mal 18 €. Alternativ: Plakatfläche mal k².

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(k=\frac{300}{60}=5\), Höhe \(5\cdot84\text{ cm}=420\text{ cm}=4{,}2\text{ m}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(A=3\text{ m}\cdot4{,}2\text{ m}=12{,}6\text{ m}^2\) (Kontrolle: \(0{,}504\text{ m}^2\cdot25=12{,}6\text{ m}^2\)). Kosten \(12{,}6\cdot18\text{ €}=226{,}80\text{ €}\).

2

Der Schokohase

AFB II–III

Ein Schokoladenhase ist 12 cm hoch und wiegt 100 g. Zu Ostern gibt es einen maßstäblich vergrößerten Hasen, der 24 cm hoch ist. Er kostet 6 €, der kleine 1,20 €. Tim sagt: „Der große Hase ist doppelt so hoch, also enthält er doppelt so viel Schokolade. Dann ist er viel zu teuer.“

  1. Begründen Sie, mit welchem Faktor sich die Schokoladenmenge ändert.
  2. Vergleichen Sie die Preise pro 100 g Schokolade.
  3. Beurteilen Sie Tims Aussage. Gehen Sie dabei auch darauf ein, dass Schokohasen innen hohl sind.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Masse hängt am Volumen (gleiches Material, gleiche Wandstärke vorausgesetzt).
Hinweis zu Aufgabe b)
Preis durch Masse in 100-g-Einheiten.
Hinweis zu Aufgabe c)
Kriterien: richtiger Faktor? Annahme „voll“ realistisch? Was ändert sich bei hohlen Hasen mit gleicher Wandstärke?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(k=\frac{24}{12}=2\). Masse ∼ Volumen ∼ \(k^3=8\). Der große Hase wiegt bei voller Schokolade \(800\) g.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Klein: \(1{,}20\) € pro 100 g. Groß: \(6\text{ €}:8=0{,}75\) € pro 100 g — der große Hase ist pro Gramm günstiger.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Tim irrt: Bei gleicher Form wächst die Menge mit \(k^3\), nicht mit \(k\). Hohle Hasen mit gleicher Wanddicke wachsen allerdings eher mit der Oberfläche, also \(k^2=4\) (400 g, 1,50 € pro 100 g) — dann wäre der große etwas teurer. Eine vollständige Antwort nennt die Annahme und kommt begründet zu einem Urteil.