Flächen wachsen mit k²
Wird eine Figur mit dem Faktor \(k\) gestreckt, werden alle Längen \(k\)-mal so groß — der Flächeninhalt wächst aber stärker.
- Quadrat:Seite \(1\,\mathrm{cm}\to 3\,\mathrm{cm}\), Fläche \(1\,\mathrm{cm^2}\to 9\,\mathrm{cm^2}\).
- Grund:Länge und Breite werden \(k\)-mal so groß: \(k\cdot k=k^2\).
- Jede Figur:Das gilt auch für Dreiecke, Kreise und krumme Figuren.
Wähle oben einen Streckfaktor und zähle, wie oft das Originaldreieck in das Bilddreieck passt: Klicke jedes Teildreieck an — auch die, die auf dem Kopf stehen.
Halte fest: Beim Streckfaktor \(k\) passt das Original genau \(k^2\)-mal in das Bild.
Flächeninhalt: \(A'=k^2\cdot A\)
Volumen wachsen mit k³
Bei Körpern kommt eine dritte Richtung dazu: Länge, Breite und Höhe werden jeweils \(k\)-mal so groß.
- Würfel:Kante \(1\,\mathrm{cm}\to 2\,\mathrm{cm}\): Es passen \(2\cdot2\cdot2=8\) kleine Würfel hinein.
- Allgemein:\(k\cdot k\cdot k=k^3\).
- Oberfläche:ist eine Fläche, wächst also nur mit \(k^2\).
Volumen: \(V'=k^3\cdot V\)
Allgemeine Hinweise
Nicht einfach k nehmen
Maßstab \(1:100\) heißt für Flächen \(1:10\,000\) und für Volumen \(1:1\,000\,000\).
Rückwärts mit der Wurzel
Ist das Flächenverhältnis bekannt, liefert die Wurzel den Streckfaktor: \(A'=4\cdot A\ \Rightarrow\ k=\sqrt{4}=2\).
Einheiten verraten die Potenz
Längen in cm → \(k\) · Flächen in cm² → \(k^2\) · Volumen in cm³ → \(k^3\).