Winkel jagen, Ähnlichkeit folgern, Verhältnis aufstellen — zehn Übungen zum Beweisen mit ähnlichen Dreiecken.
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Übungsaufgaben
Zehn interaktive Übungen, von AFB I bis AFB III — zum Klicken, Ziehen, Zuordnen und Rechnen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung und erklärt danach den typischen Fehler.
A1
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I
Fünf Behauptungen über Beweise mit Ähnlichkeit.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Die typischen Winkelquellen: Scheitelwinkel, Stufen- und Wechselwinkel, gemeinsamer Winkel, rechter Winkel.
A2
Lückentext: der Beweisaufbau
AFB I
Setze die Begriffe ein — einer bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Zuerst sucht man zwei passende . Dann begründet man zwei gleiche . Nach dem Hauptähnlichkeitssatz sind sie ähnlich. Daraus stellt man ein entsprechender Seiten auf. Durch erhält man die Behauptung.
Der Flächeninhalt spielt bei diesen Beweisen keine Rolle — es geht um Seitenverhältnisse.
A3
Woher kommt der gleiche Winkel?
AFB I
Ordne jede Situation der passenden Begründung zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Scheitelwinkel
2Stufen-/Wechselwinkel
3gemeinsamer Winkel
In X-Figuren liefern Scheitelwinkel bei S und Wechselwinkel an den Parallelen die zwei Winkel, in V-Figuren der gemeinsame Winkel bei Z und ein Stufenwinkel.
A4
Memory: Satz und Formel
AFB I
Finde die Paare aus Satz und Formel (rechter Winkel bei C, Höhe h, Abschnitte p bei B und q bei A).
Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen — sonst drehen sie sich wieder um.
Versuche: 0 von 16
Alle vier Sätze folgen aus den ähnlichen Teildreiecken. Merkhilfe: Die Kathete a liegt über dem Abschnitt p.
A5
Blitzrechnung: Kathetensatz
AFB I
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse c = 10 cm und der Abschnitt p = 3,6 cm. Berechne die Kathete a (in cm).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
a² = c · p = 10 · 3,6 = 36, also a = 6 cm.
A6
Welche Dreiecke sind ähnlich?
AFB II
Im rechtwinkligen Dreieck ABC (rechter Winkel bei C) mit Höhenfußpunkt F: Welche Aussagen stimmen?
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die Höhe zerlegt das Dreieck in zwei Teildreiecke, die beide zum großen und zueinander ähnlich sind — alle drei haben die Winkel 90°, α, β.
A7
Beweis: die Mittelparallele
AFB II
M und N sind die Mitten von AC und BC im Dreieck ABC. Ordne die Schritte des Beweises, dass MN halb so lang wie AB ist.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1CM : CA = 1 : 2 und CN : CB = 1 : 2 (Seitenmitten)
2Die Verhältnisse auf beiden Strahlen von C sind gleich
3Umkehrung des 1. Strahlensatzes: MN ∥ AB
42. Strahlensatz: MN : AB = CM : CA
5MN = ½ · AB
Die Parallelität muss vor dem 2. Strahlensatz bewiesen sein — sonst darf man ihn nicht anwenden.
A8
Schritt und Begründung
AFB II
Verbinde jeden Beweisschritt mit seiner Begründung.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Jede Zeile eines Beweises braucht genau eine solche Begründung — ohne sie gibt es in der Arbeit keine volle Punktzahl.
A9
Fehlersuche im Beweis
AFB III
Ein Beweis des Höhensatzes h² = p · q — drei Zeilen sind fehlerhaft.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der wichtigste Schritt ist die Winkeljagd: ∠FCB = α ergibt sich nur über die Winkelsumme.
A10
Welcher Beweis braucht was?
AFB III
Kreuze an, was man für den jeweiligen Beweis braucht.
Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
Beweis
Ähnlichkeit (WW)
Strahlensatz
Umkehrung Strahlensatz
Kathetensatz
Höhensatz
Mittelparallele ist halb so lang
Diagonalen im Trapez teilen sich im Verhältnis AB : CD
Satz des Pythagoras aus dem Kathetensatz
Die Mittelparallele braucht beide Richtungen: erst die Umkehrung für die Parallelität, dann den Strahlensatz für die Länge.
