Die Rampe am Schulhof
AFB I–IIEine rechtwinklige Rampe hat die waagerechte Kathete \(b=4{,}8\) m und die schräge Seite (Hypotenuse) \(c=5\) m. Unter der Rampe soll eine senkrechte Stütze vom rechten Winkel auf die Schräge gesetzt werden (Höhe \(h\) auf \(c\)).
- Berechnen Sie mit dem Kathetensatz den Abschnitt \(q\), den die Stütze von der Schräge abteilt (auf der Seite von \(b\)).
- Bestimmen Sie die Länge der Stütze \(h\).
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(q=\frac{b^2}{c}=\frac{23{,}04}{5}=4{,}608\) m, also etwa \(4{,}61\) m.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(p=5-4{,}608=0{,}392\) m, \(h^2=p\cdot q=0{,}392\cdot4{,}608\approx1{,}806\), \(h\approx1{,}34\) m. Kontrolle: \(a=\sqrt{5^2-4{,}8^2}=1{,}4\) m und \(h=\frac{a\cdot b}{c}=1{,}344\) m.
Ein Beweis im Trapez
AFB II–IIIIm Trapez \(ABCD\) ist \(AB\parallel CD\). Die Diagonalen \(AC\) und \(BD\) schneiden sich in \(S\). Behauptung: \(\overline{AS}:\overline{SC}=\overline{AB}:\overline{CD}\).
- Nennen Sie die beiden Dreiecke, deren Ähnlichkeit man für den Beweis braucht.
- Beweisen Sie die Behauptung.
- Deuten Sie das Ergebnis für ein Trapez mit \(\overline{AB}=3\cdot\overline{CD}\).
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\triangle ABS\) und \(\triangle CDS\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\angle ASB=\angle CSD\) (Scheitelwinkel). \(\angle BAS=\angle DCS\) (Wechselwinkel an \(AB\parallel CD\)). Nach WW ist \(\triangle ABS\sim\triangle CDS\) mit \(A\leftrightarrow C\), \(B\leftrightarrow D\), \(S\leftrightarrow S\). Entsprechende Seiten: \(\frac{\overline{AS}}{\overline{CS}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\overline{AS}=3\cdot\overline{SC}\): \(S\) teilt die Diagonale im Verhältnis 3 : 1 und liegt viel näher an der kurzen Seite \(CD\).