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Beweise mit Ähnlichkeit

Den Kathetensatz kennst du aus dem Pythagoras-Kapitel — mit zwei ähnlichen Dreiecken ist er in sechs Zeilen bewiesen.

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So ist ein Ähnlichkeitsbeweis aufgebaut

Viele Sätze über Strecken lassen sich zeigen, indem man in der Figur zwei ähnliche Dreiecke findet.

  • 1. Dreiecke:zwei Dreiecke suchen, in denen die gesuchten Strecken vorkommen.
  • 2. Winkel:zwei gleiche Winkel begründen (rechter Winkel, gemeinsamer Winkel, Scheitel- oder Stufenwinkel).
  • 3. Ähnlichkeit:mit dem Hauptähnlichkeitssatz (WW) folgern.
  • 4. Verhältnis:entsprechende Seiten ins gleiche Verhältnis setzen.
  • 5. Umformen:bis die Behauptung dasteht.

Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) teilt die Höhe \(h\) die Hypotenuse in \(p\) und \(q\). Bringe die Beweisschritte für den Kathetensatz \(a^2=c\cdot p\) in die richtige Reihenfolge — fährst du über eine Karte, leuchten die Dreiecke dazu auf.

Beweis ordnen

Halte fest: Erst die Winkel, dann die Ähnlichkeit, dann das Verhältnis — in dieser Reihenfolge trägt jeder Schritt den nächsten.

Merke

Kathetensatz: \(a^2=c\cdot p\)  und  \(b^2=c\cdot q\)

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Daraus folgt der Satz des Pythagoras

Mit dem Kathetensatz für beide Katheten ist der Satz des Pythagoras nur noch Rechnen.

Herleitung:

\(a^2=c\cdot p\)
Kathetensatz
Gerade bewiesen mit \(\triangle ABC\sim\triangle CBF\).
\(b^2=c\cdot q\)
ebenso
Derselbe Beweis mit \(\triangle ABC\sim\triangle ACF\) (gemeinsamer Winkel \(\alpha\)).
\(a^2+b^2=c\cdot p+c\cdot q\)
| addieren
Beide Gleichungen addieren.
\(a^2+b^2=c\cdot(p+q)\)
| ausklammern
\(c\) ausklammern.
\(a^2+b^2=c^2\)
Ergebnis
Denn \(p+q=c\) — der Satz des Pythagoras.
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Allgemeine Hinweise

Nicht mit der Behauptung starten

Was bewiesen werden soll, darf im Beweis nicht als Begründung benutzt werden.

Jeder Schritt mit „weil“

Zu jeder Aussage gehört ein Grund: Winkelsumme, Scheitelwinkel, Stufenwinkel, gemeinsamer Winkel oder ein Satz.

Kleines Dreieck herausdrehen

Zeichne das Teildreieck noch einmal so gedreht, dass es wie das große liegt. Dann sieht man, welche Seiten zusammengehören.

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