Der Dachstuhl
AFB I–IIEin Dachstuhl hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Breite 9 m und der Höhe 3 m. Für ein Gartenhaus soll ein Dach mit denselben Winkeln gebaut werden; es wird nur 3,6 m breit.
- Begründen Sie, dass die beiden Dachdreiecke ähnlich sind.
- Berechnen Sie die Höhe des Gartenhausdaches.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Dächer haben dieselben Winkel. Stimmen zwei Winkel überein, sind die Dreiecke nach dem Hauptähnlichkeitssatz (WW) ähnlich.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(k=\frac{3{,}6}{9}=0{,}4\), Höhe \(0{,}4\cdot3\text{ m}=1{,}2\text{ m}\).
Zeltstangen im Vergleich
AFB II–IIIEin Zelt hat vorn ein Dreieck mit den Seiten 1,5 m, 1,5 m und 2,4 m. Ein Kinderzelt hat vorn die Seiten 1 m, 1 m und 1,5 m. Laut Werbung ist es „eine verkleinerte Kopie des großen Zeltes“.
- Untersuchen Sie mit einem Ähnlichkeitssatz, ob die Werbung stimmt.
- Bestimmen Sie, wie lang die Bodenseite des Kinderzeltes sein müsste, damit es wirklich eine verkleinerte Kopie ist.
- Beurteilen Sie, ob der Unterschied beim Aufstellen auffällt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\frac{1}{1{,}5}\approx0{,}67\), \(\frac{1}{1{,}5}\approx0{,}67\), \(\frac{1{,}5}{2{,}4}=0{,}625\). Die Verhältnisse sind verschieden — nach SSS nicht ähnlich.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(k=\frac{1}{1{,}5}=\frac{2}{3}\), Bodenseite \(\frac{2}{3}\cdot2{,}4\text{ m}=1{,}6\text{ m}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Bodenseite ist 10 cm zu kurz (etwa 6 %). Das Kinderzelt ist dadurch etwas steiler. Mit bloßem Auge fällt das kaum auf, mathematisch ist die Werbeaussage aber falsch. Beide Aspekte sollen genannt werden.