Zwei Winkel genügen
Bei beliebigen Figuren muss man für Ähnlichkeit alle Winkel und alle Seitenverhältnisse prüfen. Bei Dreiecken geht es viel schneller.
- Winkelsumme:\(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\) — zwei Winkel legen den dritten fest.
- Form:Zwei Winkel legen die Form des Dreiecks fest, nur die Größe ist noch frei.
- Folge:Dreiecke mit zwei gleichen Winkeln sind Vergrößerungen voneinander.
Baue ein Dreieck aus der Grundseite \(c\) und den Winkeln \(\alpha\) und \(\beta\): Ziehe \(B\) und die beiden Winkelgriffe. Merke dir ein Dreieck, ändere dann nur \(c\) und vergleiche die Seitenverhältnisse.
Halte fest: Mit denselben zwei Winkeln entsteht immer dieselbe Form — die Seitenverhältnisse \(a:c\) und \(b:c\) bleiben gleich, egal wie lang \(c\) ist.
Hauptähnlichkeitssatz (WW): Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln überein, sind sie ähnlich.
Weitere Ähnlichkeitssätze
Sind keine Winkel bekannt, entscheiden die Seitenverhältnisse. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn …
- SSS:… alle drei Seitenverhältnisse gleich sind: \(\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}\).
- SWS:… zwei Seitenverhältnisse gleich sind und der Winkel zwischen diesen Seiten gleich ist.
- SsW:… zwei Seitenverhältnisse gleich sind und der Winkel gegenüber der längeren Seite gleich ist.
- Schreibweise:\(\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'\), gelesen „ist ähnlich zu“.
Allgemeine Hinweise
Ecken in gleicher Reihenfolge
\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\) heißt: \(A\) gehört zu \(D\), \(B\) zu \(E\), \(C\) zu \(F\). So findet man die passenden Seiten sofort.
Gleiche Winkel aufspüren
Scheitelwinkel, Stufenwinkel an Parallelen und gemeinsame Winkel liefern oft die zwei gleichen Winkel.
Nur bei Dreiecken
Bei Vierecken reichen gleiche Winkel nicht: Ein Quadrat und ein langes Rechteck haben dieselben Winkel, sind aber nicht ähnlich.