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Übungen: Zufallsexperimente — AFB II

Anwenden, wo es nicht offensichtlich ist — AFB II. Zehn Aufgaben quer durch die Kapitel 3.1 und 3.2: mehrstufige Versuche.

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Aufgabenblock — AFB II

10 Aufgaben aus allen vier Unterkapiteln. Jede braucht mehrere Schritte und einen Übersetzungsschritt in die reale Situation: erst den Baum aufstellen, dann entscheiden, ob multipliziert, addiert oder über das Gegenereignis gerechnet wird. Bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Der Rechenweg für „mindestens einmal“
AFB II

Ein Samenkorn keimt mit der Wahrscheinlichkeit 0,8. Frau Kramer sät drei Körner. Gefragt ist P(mindestens ein Korn keimt). Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1 Das Gegenereignis formulieren: „kein einziges Korn keimt“.
2 Die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes nicht keimendes Korn bestimmen: 1 − 0,8 = 0,2.
3 Entlang des einen Pfades multiplizieren: 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008.
4 Zurückrechnen: P(mindestens eines) = 1 − 0,008.
5 Antwortsatz: Mit 99,2 % Wahrscheinlichkeit keimt mindestens ein Korn.
„Mindestens einmal“ hat sieben günstige Pfade, das Gegenereignis nur einen. Deshalb lohnt sich der Umweg über 1 − P(kein einziges) fast immer.
A2
Kreuztabelle: welcher Wert gehört zum Ereignis?
AFB II

Eine faire Münze wird dreimal geworfen (K = Kopf, Z = Zahl). Der Baum hat 8 gleich wahrscheinliche Pfade zu je 0,125. Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
Ereignis0,1250,3750,875
dreimal Kopf
genau einmal Kopf
mindestens einmal Kopf
genau zweimal Zahl
der Pfad (K|Z|K)
mindestens einmal Zahl
Zähle immer die günstigen Pfade und multipliziere mit 0,125: ein Pfad → 0,125, drei Pfade → 0,375, sieben Pfade → 0,875. „Genau einmal Kopf“ hat drei Pfade, weil der Kopf an drei verschiedenen Stellen stehen kann.
A3
Mit oder ohne Zurücklegen — oder beides?
AFB II

In einer Kiste liegen 10 USB-Sticks, davon sind 2 defekt. Es werden zwei Stücke gezogen — einmal mit, einmal ohne Zurücklegen. Ordne jede Aussage dem passenden Bereich zu.

Ordne jeden Begriff einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 nur mit Zurücklegen
2 bei beiden gleich
3 nur ohne Zurücklegen
Die erste Stufe ist in beiden Fällen identisch — der Unterschied entsteht erst danach. Ohne Zurücklegen ändert sich der Nenner von 10 auf 9, und die Astzahlen hängen plötzlich vom vorherigen Zug ab.
A4
Fehlersuche: sechs Sätze aus einem Heft
AFB II

Ein Mitschüler hat sich Merksätze notiert. Klicke genau die falschen Zeilen an.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 2, 4 und 6 sind die drei Häufigsten: geteilt statt minus beim Gegenereignis, Addieren von Stufenwahrscheinlichkeiten und der vergessene Nenner beim Ziehen ohne Zurücklegen.
A5
Schritt für Schritt: zwei Freiwürfe
AFB II

Mert trifft einen Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit 0,6. Er wirft zweimal. Spiele die Überlegung Schritt für Schritt durch.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Der komplette Weg: Baum aufstellen, Gegenwahrscheinlichkeit ergänzen, entlang der Pfade multiplizieren, günstige Pfade addieren und mit der Summe 1 kontrollieren.
    A6
    Schätz-Regler: viermal auf die Sechs hoffen
    AFB II

    Ein fairer Würfel wird viermal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs? Schätze zuerst in Prozent, bevor du rechnest.

    Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
    0 %100 %
    Über das Gegenereignis: P(keine Sechs bei einem Wurf) = 5 : 6. Viermal hintereinander: (5 : 6)4 ≈ 0,482. Also P(mindestens eine Sechs) ≈ 1 − 0,482 = 0,518, rund 52 %. Viele schätzen 4 · 1 : 6 ≈ 67 % — das ist zu hoch, weil dabei die Pfade mit zwei oder drei Sechsen mehrfach gezählt werden.
    A7
    Zwei Schülerausweise ohne Zurücklegen
    AFB II

    Im Fundbüro liegen 12 Schülerausweise: 5 gehören zur Klasse 8a, die übrigen zu anderen Klassen. Herr Ohlsen zieht nacheinander zwei Ausweise, ohne sie zurückzulegen. Runde alle Wahrscheinlichkeiten auf drei Nachkommastellen.

    Ansatz: Zeichne den zweistufigen Baum und schreibe an die 2. Stufe Brüche mit dem Nenner 11 — ein Ausweis ist ja bereits heraus.Warum hilft das? Ohne diese Anpassung rechnest du automatisch mit Zurücklegen. Der Nenner verrät dir sofort, ob dein Baum stimmt.
    Rechenweg: a) 5 : 12 · 4 : 11. b) 7 : 12 · 6 : 11. c) zwei günstige Pfade: 5 : 12 · 7 : 11 + 7 : 12 · 5 : 11. d) Gegenereignis von b): 1 − P(keiner).
    Lösung: a) 20 : 132 ≈ 0,152   b) 42 : 132 ≈ 0,318   c) 70 : 132 ≈ 0,530   d) 1 − 0,318 = 0,682. Probe: 0,152 + 0,530 + 0,318 = 1.
    Warum ist P(genau einer) doppelt so groß wie erwartet?
    Weil zwei verschiedene Pfade zum selben Ereignis führen: erst 8a und dann eine andere Klasse — oder umgekehrt. Beide Pfade haben zufällig dieselbe Pfadwahrscheinlichkeit 35 : 132, denn 5 · 7 und 7 · 5 ergeben dasselbe Produkt. Zusammen sind das 70 : 132. Wer nur einen Pfad rechnet, halbiert sein Ergebnis — ein Fehler, der in Klassenarbeiten sehr häufig vorkommt.
    A8
    Regenschirm: das Gegenereignis spart Arbeit
    AFB II

    Eine Wetter-App gibt für jeden der nächsten drei Tage unabhängig voneinander eine Regenwahrscheinlichkeit von 30 % an. Rechne mit P(Regen) = 0,3 und gib deine Ergebnisse als Dezimalzahl mit drei Nachkommastellen an.

    Ansatz: Formuliere zuerst das Gegenereignis zu „mindestens einmal Regen“. Es lautet „an keinem Tag Regen“ und besteht aus einem einzigen Pfad.Warum hilft das? Von sieben günstigen Pfaden auf einen zu kommen, ist der eigentliche Trick. Alles andere wäre dieselbe Rechnung siebenmal.
    Rechenweg: a) 0,7 · 0,7 · 0,7. b) 1 minus dem Ergebnis aus a). c) 0,3 · 0,3 · 0,3. d) 2 · 2 · 2.
    Lösung: a) 0,343   b) 1 − 0,343 = 0,657   c) 0,027   d) 8 Pfade. Beachte: 0,657 ist deutlich mehr als 0,3 — drei Chancen auf Regen wiegen schwerer als eine.
    Warum darf man hier 1 − P(kein Regen) rechnen?
    Weil „an mindestens einem Tag Regen“ und „an keinem Tag Regen“ zusammen wirklich alle acht Pfade abdecken und sich dabei nicht überschneiden. Jeder Pfad gehört zu genau einem der beiden Ereignisse: Entweder es taucht mindestens ein Regentag auf, oder eben keiner. Deshalb ergeben ihre Wahrscheinlichkeiten zusammen 1, und du darfst die eine aus der anderen berechnen. Wäre die Beschreibung ungenauer — etwa „höchstens ein Regentag“ und „mindestens ein Regentag“ —, würde der Trick nicht funktionieren, weil sich beide überlappen.
    A9
    Zwei Regeln in einer Aufgabe: der Vokabeltest
    AFB II

    Bei einem Online-Vokabeltest gibt es drei Fragen. Die erste beantwortet Nele mit der Wahrscheinlichkeit 0,9 richtig, die zweite mit 0,5 und die dritte mit 0,4. Die Fragen sind voneinander unabhängig. Gib alle Ergebnisse als Dezimalzahl an.

    Ansatz: Notiere zuerst zu jeder Frage beide Werte: richtig und falsch. Frage 1: 0,9 und 0,1. Frage 2: 0,5 und 0,5. Frage 3: 0,4 und 0,6.Warum hilft das? Die Gegenwahrscheinlichkeiten brauchst du in fast jedem Teilschritt. Wer sie vorher hinschreibt, verrechnet sich beim Ablesen des Baums deutlich seltener.
    Rechenweg: a) 0,9 · 0,5 · 0,4. b) 0,1 · 0,5 · 0,6. c) richtig, falsch, falsch: 0,9 · 0,5 · 0,6. d) 1 minus dem Ergebnis aus b).
    Lösung: a) 0,18   b) 0,03   c) 0,27   d) 1 − 0,03 = 0,97. Beachte, dass die Stufen hier verschiedene Astwerte haben — du darfst also nicht mit einer Potenz rechnen.
    Woran erkennst du, wann multipliziert und wann addiert wird?
    Am Wort „und“ im Sinne von nacheinander: Frage 1 richtig und Frage 2 richtig und Frage 3 richtig — das ist ein einziger Pfad, also multiplizieren. Sobald ein Ereignis dagegen auf mehrere verschiedene Arten eintreten kann, etwa „genau eine richtig“, gehören mehrere Pfade dazu, und du addierst deren Pfadwahrscheinlichkeiten. Merksatz: mal entlang des Pfades, plus zwischen den Pfaden.
    A10
    Mischaufgabe: die Sortiermaschine der Schulbücherei
    AFB II

    Eine Sortiermaschine erkennt einen Buchcode mit der Wahrscheinlichkeit 0,85 auf Anhieb. Klappt es nicht, wird derselbe Code ein zweites Mal eingelesen — wieder mit 0,85 Erfolgschance. Erst wenn auch das misslingt, muss jemand von Hand nachsehen. Gib alle Werte als Dezimalzahl an.

    Ansatz: Zeichne einen Baum, der nach einem Erfolg abbricht: Nur der Misserfolgs-Ast wird weiterverzweigt.Warum hilft das? Solche „abbrechenden“ Bäume kommen im Alltag ständig vor — ein zweiter Versuch findet ja nur statt, wenn der erste schiefging. Der Baum hat dann drei Pfadenden statt vier.
    Rechenweg: a) direkt der erste Ast. b) 0,15 · 0,85. c) 0,15 · 0,15. d) entweder a) + b) addieren oder 1 − c) rechnen.
    Lösung: a) 0,85   b) 0,1275   c) 0,0225   d) 0,85 + 0,1275 = 0,9775, und die Gegenrechnung 1 − 0,0225 liefert denselben Wert.
    Warum ergeben hier drei statt vier Pfadwahrscheinlichkeiten zusammen 1?
    Weil der Baum nach einem Erfolg endet. Der obere Ast der ersten Stufe führt sofort zu einem Pfadende, nur der untere verzweigt sich noch einmal. Es gibt also die drei Pfadenden „sofort erkannt“, „beim zweiten Mal erkannt“ und „gar nicht erkannt“ — und 0,85 + 0,1275 + 0,0225 = 1. Entscheidend ist, dass sich die drei Fälle gegenseitig ausschließen und zusammen alles abdecken; nur dann darfst du sie einfach addieren.
    Und was ändert sich, wenn die Maschine beim zweiten Versuch nur noch 0,6 schafft?
    Dann bleibt a) unverändert bei 0,85, weil der erste Ast derselbe ist. Aber b) wird zu 0,15 · 0,6 = 0,09 und c) zu 0,15 · 0,4 = 0,06. Die Gesamttrefferquote sinkt auf 0,85 + 0,09 = 0,94. Das zeigt, dass nur die Zahlen an den veränderten Ästen ausgetauscht werden müssen — die Struktur des Baums und der Rechenweg bleiben gleich.